Sunday, May 31, 2020

MBI METODËN SHKENCORE NË FILOZOFI

MBI METODËN SHKENCORE NË  FILOZOFI

Kur përpiqemi të konstatojmë motivet që i kanë çuar njerëzit drejt hetimit të pyetjeve filozofike, zbulojmë se, duke folur gjerësisht, ato mund të ndahen në dy grupe, shpesh antagoniste dhe që çojnë në sisteme shumë të ndryshme. Këto dy grupe motivesh janë nga njëra anë ato që rrjedhin nga feja dhe etika dhe, nga ana tjetër, ato që rrjedhin nga shkenca. Platoni, Spinoza dhe Hegel mund të konsiderohen si tipikë të filozofëve, interesat e të cilëve janë kryesisht fetarë dhe etikë, ndërsa Leibniz, Locke dhe Hume mund të merren si përfaqësues të krahut shkencor ateist. Në Aristotelin, Descartes, Berkeley dhe Kant ne i gjejmë të dy grupet e motiveve fuqimisht të pranishme. Herbert Spencer, natyrisht do të klasifikohej midis filozofëve shkencorë: ishte kryesisht nga shkenca që ai tërhoqi të dhënat e tij, formulimin e tij të problemeve dhe konceptimin e tij të metodës. Por ndjenja e tij e fortë fetare është e qartë në shumë nga shkrimet e tij, dhe etika e tij para-profesionit janë ato që e bëjnë atë të vlerësojmë konceptin e evolucionit - atë konceptim në të cilën, një brez i tërë ka besuar, shkenca dhe morali janë të bashkuara në martesë të frytshme dhe e pandashme. Unë besoj se motivet etike dhe fetare, përkundër sistemeve të shkëlqyeshme, për të cilat ata u janë dhënë, kanë qenë në tërësi një pengesë për përparimin e filozofisë ateiste, dhe tani duhet të nxirren me vetëdije nga ata që dëshirojnë që të zbuloni të vërtetën filozofike. Shkenca, fillimisht, ishte ngatërruar në motive të ngjashme, dhe në këtë mënyrë u pengua në përparimet e saj. Filozofia, më tëpër nga shkenca, sesa nga etika dhe feja duhet të tërheqë frymëzimin e saj. Por ekzistojnë dy mënyra të ndryshme në të cilat një filozofi mund të përpiqet të bazohet në shkencë. Mund të theksojë rezultatet më të përgjithshme të shkencës dhe të përpiqet të japë një gjeneralitet dhe unitet edhe më të madh këtyre rezultateve. Ose mund të studiojë metodat e shkencës dhe të përpiqet të zbatojë këto metoda, me përshtatjet e nevojshme, në krahinën e vet të veçantë. Shumë filozofi të frymëzuara nga shkenca kanë humbur rrugën përmes preokupimit me rezultatet e momentit që supozohet se janë arritur. Nuk janë rezultate, por _metoda_ që mund të transferohen me fitim nga sfera e shkencave speciale në sferën e filozofisë. Ajo që dua të vë në dukje është mundësia dhe rëndësia e zbatimit të problemeve filozofike në disa parime të gjera të metodës të cilat janë gjetur të suksesshme në studimin e pyetjeve shkencore. Kundërshtimi midis një filozofie të udhëhequr nga metoda shkencore dhe një filozofi të mbizotëruar nga idetë fetare dhe etike mund të ilustrohen nga dy nocione të cilat janë shumë të përhapura në veprat e filozofëve, gjegjësisht nocionin e_the univers_, dhe nocionin e _ mirësisë dhe të keqes_. Një filozof pritet të na tregojë diçka për natyrën e universit në tërësi, dhe të japë baza për optimizëm ose pesimizëm. Të dyja këto pritje më duken të gabuara. Unë besoj se konceptimi i "universit" do të jetë, siç tregon etimologjia e tij, një relike e thjeshtë e astronomisë parakopernikase : dhe besoj se çështja e optimizmit dhe pesimizmit do të jetë ajo që filozofi do ta konsiderojë si jashtë fushëveprimit të tij, përveç, ndoshta, në masën e ruajtjes se është i pazgjidhshëm. Në ditët para Kopernikut, konceptimi i "universit" ishte i mbrojtshëm për shkaqe shkencore: revolucioni i ditarit të trupave qiellorë i lidhi ata si të gjitha pjesët e një sistemi, nga të cilat toka ishte qendra. Rreth këtij fakti të dukshëm shkencor, shumë dëshira njerëzore u mblodhën: dëshira për të besuar njeriun si të rëndësishëm në skemën e gjërave, dëshira teorike për një kuptim gjithëpërfshirës të Tërësisë, me shpresën se rruga e natyrës mund të udhëhiqet nga disa simpati me dëshirat tona. Në këtë mënyrë, u rrit një sistem i inspiruar etikisht i metafizikës, antropocentrizmi i të cilit ishte dukshëm i garantuar nga gjeocentrizmi i astronomisë. Kur Koperniku shkatërroi bazën astronomike të këtij sistemi të mendimit, ai ishte rritur aq i njohur, dhe e kishte lidhur veten aq ngushtë me aspiratat e burrave, sa që mbijetoi me forcë të zvogëluar e të zjarrtë - mbijetoi madje edhe "Revolucioni Kopernican" i Kantit, dhe është akoma tani premisa e pavetëdijshme e shumicës së sistemeve metafizike. Njësia e botës është një postulat pothuajse i padiskutueshëm i shumicës së metafizikës. "Realiteti nuk është thjesht një dhe vetë-konsistent, por është një sistem i pjesëve të përcaktuara në mënyrë reciproke " - një deklaratë e tillë do të kalonte thuajse pa u vënë re si një truizëm i thjeshtë. Megjithatë unë besoj se ajo mishëron një dështim për të realizuar plotësisht "revolucionin Kopernican", dhe se uniteti i dukshëm i botës është thjesht uniteti i asaj që shihet nga një spektator i vetëm ose i kapur nga një mendje e vetme. Filozofia Kritike, megjithëse synonte të theksonte elementin subjektiv në shumë karakteristika të dukshme të botës, megjithatë për sa i përket botës në vetvete si të panjohur, aq vëmendje të përqendruar në përfaqësimin subjektiv sa që subjektiviteti i saj u harrua së shpejti. Pasi i njihte kategoritë si punë të mendjes, ajo ishte e paralizuar nga njohja e vet, dhe braktisi me dëshpërim përpjekjen për të prishur punën e falsifikimit subjektiv. Pjesërisht, pa dyshim, dëshpërimi i saj ishte i bazuar mirë, por jo, mendoj, në ndonjë kuptim absolut ose përfundimtar. Akoma më pak kishte një tokë për t'u gëzuar, ose për të supozuar se marrëzia në të cilën ajo duhej të ngjallte mund të shkëmbehej në mënyrë të ligjshme për një dogmatizëm metafizik. Sa i përket pyetjes sonë të tanishme, përkatësisht, çështjes së unitetit të botës, metoda e duhur, siç mendoj unë, është treguar nga William James. "Le ta kthejmë kurrizin pas mënyrave të pashpjegueshme ose të diskutueshme të llogaritjes së unitetit në botë, dhe të pyesim nëse, në vend që të jemi parim," uniteti "i pohuar nuk mund të jetë thjesht një emër si 'substancë', përshkrues i faktit dhe i caktuar. Lidhjet specifike dhe të verifikueshme_ gjenden në mesin e pjesëve të fluksit eksperimental… Ne lehtë mund të konceptojmë gjëra që do të kenë asnjë lidhje me njëri-tjetrin. Ne mund t'i supozojmë se ata banojnë në periudha dhe hapësira të ndryshme, siç bëjnë ëndrrat e personave të ndryshëm edhe tani. Ato mund të jenë aq të kundërta dhe të pakapërcyeshme, dhe të jenë inerte ndaj njëritjetrit, sa kurrë të mos bëjnë shakara ose të ndërhyjnë. Edhe tani në të vërtetë mund të ketë universe të tërë aq të ndryshëm nga tonat sa ne që njohim tonat nuk kemi asnjë mënyrë për të perceptuar se ato ekzistojnë. Ne konceptojmë diversitetin e tyre, megjithatë; dhe me këtë fakt, tërësia e tyre formon atë që njihet në logjikë si 'një univers të ligjërimit'. Për të formuar një univers të ligjërimit argumenton, siç tregon ky shembull, asnjë lloj lidhjeje tjetër. Rëndësia e bashkangjitur nga shkrimtarë të caktuar monistikë për faktin se çdo kaos mund të bëhet një univers thjesht duke u emëruar, është për mua e pakuptueshme. "Kështu që na mbeten dy lloj uniteti në botën e përvojës; ai që mund ta quajmë unitet epistemologjik, për shkak të faktit se bota ime me përvojë është ajo që përvoja _oneone_ zgjedh nga shuma totale e ekzistencës: tjetra, ai unitet provues dhe i pjesshëm i ekspozuar në mbizotërimin e ligjeve shkencore në ato pjesë të botës që shkenca ka zotëruar deri më tani. Tani një përgjithësim i bazuar në njërën prej këtyre llojeve të unitetit do të ishte i gabueshëm. Që gjërat që ne provojmë të kenë vetinë e përbashkët të të provuarit nga ne është një truizëm nga i cili padyshim që asgjë me rëndësi nuk mund të zbritet: është qartësisht e gabueshme të nxjerrim nga fakti se çdo gjë që ne përjetojmë është konstatuar se gjithçka duhet të përjetohet.
Përgjithësimi i llojit të dytë të unitetit, d.m.th. Që rrjedhin nga ligjet shkencore, do të ishte po aq i gabuar, megjithëse gabimi është një gjë e vogël më pak elementare. Për ta shpjeguar atë, le të shqyrtojmë për një moment atë që quhet mbretërimi i ligjit. Njerëzit shpesh flasin sikur të ishte një fakt i jashtëzakonshëm që bota fizike i nënshtrohet ligjeve të pandryshueshme. Në fakt, megjithatë, nuk është e lehtë të shihet se si një botë e tillë mund të dështojë t'i bindet ligjeve të përgjithshme. Duke marrë parasysh çdo pikë mes pikësh arbitrare në hapësirë, ekziston një funksion i kohës që korrespondon me këto pika, d.m.th, shprehjen e lëvizjes së një grimce që përshkon këto pika: ky funksion mund të konsiderohet si një ligj i përgjithshëm të cilit i nënshtrohet sjellja e një grimce të tillë. Duke marrë të gjitha funksionet e tilla për të gjitha grimcat në univers, do të jenë teorikisht disa formula që i përqafojnë të gjitha, dhe kjo formulë mund të konsiderohet si ligji i vetëm dhe suprem i botës hapësinore-kohore . Kështu që ajo që befason në fizikë nuk është ekzistenca e ligjeve të përgjithshme, por thjeshtësia e tyre ekstreme. Nuk është njëtrajtshmëria e natyrës që duhet të na befasojë, sepse, nga zgjuarsia e mjaftueshme analitike, çdo rrjedhë e imagjinueshme e natyrës mund të tregohet të shfaqë njëtrajtshmëri. Ajo që duhet të na befasojë është fakti që uniformiteti është mjaft i thjeshtë për ne që të mund ta zbulojmë atë. Por është pikërisht kjo karakteristikë e thjeshtësisë në ligjet e natyrës së zbuluar deri më tani e cila do të ishte e gabuar të përgjithësohej, sepse është e qartë se thjeshtësia ka qenë një shkak i zbulimit të tyre, dhe, prandaj, nuk mund të japë bazë për supozimin se ligje të tjera të pazbuluara janë po aq të thjeshta. Gabimet, në të cilat këto dy lloje uniteti i janë dhënë, sugjerojnë kujdes në lidhje me të gjithë përdorimin në filozofinë e rezultateve të përgjithshme që shkenca supozohet të ketë arritur. Në radhë të parë, në përgjithësimin e këtyre rezultateve përtej përvojës së kaluar, është e nevojshme të ekzaminohet me shumë kujdes nëse nuk ka ndonjë arsye duke e bërë më të mundshme që këto rezultate duhet të mbajnë të gjitha ato që janë përjetuar sesa ato që duhet t'i mbajnë gjërat në mënyrë universale. Shuma totale e asaj që përjeton njerëzimi është një përzgjedhje nga shuma e përgjithshme e asaj që ekziston, dhe çdo personazh i përgjithshëm i ekspozuar nga kjo përzgjedhje mund të jetë për shkak të mënyrës së zgjedhjes sesa të karakterit të përgjithshëm të atij nga i cili zgjedh përvoja. Në radhë të dytë, rezultatet më të përgjithshme të shkencës janë më pak të sigurta dhe më të përgjegjshmet për t'u mërzitur nga hulumtimet pasuese. Në përdorimin e këtyre rezultateve si bazë të një filozofie, ne sakrifikojmë karakteristikën më të vlefshme dhe të shquar të metodës shkencore, domethënë, që, megjithëse pothuajse gjithçka në shkencë është gjetur herët a vonë për të kërkuar një korrigjim, megjithatë ky korrigjim është pothuajse gjithmonë i tillë si për ta lënë të paprekur, ose vetëm pak të modifikuar, pjesa më e madhe e rezultateve që janë nxjerrë nga premisa e zbuluar më pas si e gabuar. Njeriu i kujdesshëm i shkencës përvetëson një instinkt të caktuar në lidhje me llojin e përdorimeve që mund të bëhen nga besimet e tanishme shkencore, pa shkaktuar rrezikun e një përgënjeshtrimi të plotë nga modifikimet që mund të futen nga zbulimet vijuese. Për fat të keq, përdorimi i përgjithësimeve shkencore të një lloji gjithëpërfshirës si bazë e filozofisë është pikërisht ai lloj përdorimi, i cili do të shmangte një instinkt të kujdesit shkencor, pasi, si rregull, do të çonte vetëm në rezultate të vërteta nëse përgjithësimi mbi të cilin është bazuar ishte në nevojën e korrigjimit. Ne mund t'i ilustrojmë këto konsiderata të përgjithshme me dy shembuj, domethënë, ruajtjen e energjisë dhe parimin e evolucionit. Le të fillojmë me ruajtjen e energjisë, ose, siç e quante Herbert Spencer, këmbënguljen e forcës. Ai thotë: "Para se të hedhim një hap të parë në interpretimin racional të Evolucionit, është e nevojshme të njihen, jo vetëm faktet që tërësia është e pathyeshme dhe lëvizje e vazhdueshme, por edhe fakti që Forca vazhdon. Një përpjekje për të caktuar shkaqet e Evolucionit do të ishte qartazi absurde nëse ajo agjenci të cilës i detyrohet metamorfoza në përgjithësi dhe në detaje, mund të ekzistojë ose të pushojë së ekzistuari. Pasardhja e fenomeneve në të tilla raste do të ishte krejt e pavarur, dhe shkenca deduktive e pamundur ". Ky paragraf ilustron llojin e mënyrës në të cilën filozofi tundohet të japë një frymë të absolutitetit dhe domosdoshmërisë së përgjithësimeve empirike, nga të cilat vetëm e vërteta e përafërt në vendet e hetuara deri më tani mund të garantohet me metodat e pajeta të shkencës. Shpesh thuhet se këmbëngulja e diçkaje ose e një tjetri është një supozim i domosdoshëm i të gjithë hetimit shkencor, dhe ky supozim atëherë mendohet të ilustrohet në një sasi të cilën fizika e deklaron të jetë konstante. Ka këtu, siç më duket, tre gabime të dallueshme. Së pari, hetimi i hollësishëm shkencor i natyrës nuk parashikon ndonjë ligj të tillë të përgjithshëm pasi rezultatet e tij janë gjetur për tu verifikuar. Përveç vëzhgimeve të veçanta, shkenca nuk ka nevojë të presupozojë asgjë, përveç parimeve të përgjithshme të logjikës, dhe këto parime nuk janë ligje të natyrës, sepse ato janë thjesht hipotetike, dhe vlejnë jo vetëm për botën aktuale, por për çdo gjë që është e mundur. Gabimi i dytë konsiston në identifikimin e një sasie të vazhdueshme me një entitet të vazhdueshëm. Energjia është një funksion i caktuar i një sistemi fizik, por nuk është një send apo substancë që vazhdon gjatë gjithë ndryshimeve të sistemit. E njëjta gjë është e vërtetë edhe për masën, pavarësisht nga fakti se masa shpesh është përkufizuar si_quantity of mater_. I gjithë konceptimi i sasisë, që përfshin, siç ndodh,, matje numerike e bazuar kryesisht në konventa, është shumë më artificiale, shumë më tepër një mishërim i komoditetit matematikor, sesa që besohet zakonisht nga ata që filozofojnë në fizikë. Kështu që edhe nëse (të cilën nuk mund ta pranoj për asnjë moment) këmbëngulja e një entiteti ishte ndër postulatet e domosdoshme të shkencës, do të ishte gabim i qartë të nxirrnit nga kjo qëndrueshmërinë e ndonjë sasie fizike, apo domosdoshmërinë _a priori_ të ndonjë të tillë qëndrueshmëri e cila mund të zbulohet në mënyrë empirike. Në radhë të tretë, është bërë gjithnjë e më e dukshme me përparimin e fizikës që përgjithësime të mëdha, siç është ruajtja e energjisë ose masës, janë larg nga e sigurta dhe ka shumë të ngjarë vetëm diçka të përafërt. Masa, e cila dikur vlerësohej si më e padëshirueshmja e sasive fizike, tani besohet se përgjithësisht ndryshon sipas shpejtësisë, dhe që, në fakt, është një sasi vektoriale, e cila në një moment të caktuar është e ndryshme në drejtime të ndryshme. Përfundimet e hollësishme të nxjerra nga qëndrueshmëria e supozuar e masës për lëvizje të tilla, të cilat janë studiuar në fizikë, do të mbeten pothuajse të sakta, dhe për këtë arsye në fushën e hetimeve të vjetra kërkohet shumë pak modifikim i rezultateve më të vjetra. Por, sa më shpejt që një parim i tillë si ruajtja e masës ose e energjisë të ngrihet në një ligj universal _a priori_, dështimi më i vogël në saktësinë absolute është fatale, dhe e gjithë struktura filozofike e ngritur mbi këtë themel është shkatërruar domosdoshmërisht. Filozofi i matur, pra, megjithëse ai mund të studiojë me përparësi metodat e fizikës, do të jetë shumë i kujdesshëm të bazojë gjithçka mbi atë që ndodh në këtë moment për të qenë rezultatet më të përgjithshme të marra siç duket nga ato metoda. Filozofia e evolucionit, që do të ishte shembulli ynë i dytë, ilustron të njëjtën tendencë për përgjithësim të nxituar, dhe gjithashtu një lloj tjetër, domethënë, preokupimin e padrejtë me nocione etike. Ekzistojnë dy lloje të filozofisë evolucioniste, nga të cilat edhe Hegel dhe Spencer përfaqësojnë llojin më të vjetër dhe më pak radikal, ndërsa Pragmatizmi dhe Bergson përfaqësojnë larminë më moderne dhe revolucionare. Por të dy këto lloj evolucionarizmi kanë të përbashkët theksin në përparimin, d.m.th. mbi një ndryshim të vazhdueshëm nga më i keqi në më i mirë, ose nga më i thjeshti në më i ndërlikuar. Do të ishte e padrejtë t'i atribuohet Hegelit ndonjë motiv shkencor ose themel, por të gjithë evolucionistët e tjerë, përfshirë dishepujt modernë të Hegelit, kanë nxjerrë shtysën e tyre kryesisht nga historia e zhvillimit biologjik. Për një filozofi e cila rrjedh nga një ligj i përparimit universal nga kjo histori ka dy kundërshtime. Së pari, që vetë kjo histori ka të bëjë me një përzgjedhje shumë të vogël të fakteve të kufizuara në një fragment infinitimal të hapësirës dhe kohës, madje edhe mbi baza shkencore ndoshta jo një shembull mesatar i ngjarjeve në botë në përgjithësi. Sepse ne e dimë se prishja, si dhe rritja, janë një dukuri normale në botë. Një filozof , i cili kishte shikuar një rini të vetme deri në moshën njëzet e një dhe nuk kishte hasur kurrë ndonjë qenie tjetër njerëzore, mund të konkludojë se është natyra e qenieve njerëzore të rritet vazhdimisht më e gjatë dhe më e mençur në një përparim të pacaktuar drejt përsosmërisë; dhe ky përgjithësim do të ishte po aq i themeluar sa edhe përgjithësimi të cilin evolucionistët bazojnë në historinë e mëparshme të këtij planeti. Veç kësaj, nga ky kundërshtim shkencor ndaj evolucionizmit, ekziston edhe një tjetër, që rrjedh nga ndërtesa e panevojshme e nocioneve etike në vetë idenë e përparimit nga i cili evolucionizmi rrjedh hijeshinë e tij. Jeta organike, siç na është thënë, është zhvilluar gradualisht nga një protozoon në filozofi, dhe ky zhvillim, për të cilin jemi të sigurt, është pa dyshim një përparim. Fatkeqësisht është filozofi, jo protozuni, ai që na jep këtë siguri dhe ne nuk mund të kemi siguri që i huaji i paanshëm do të pajtohej me supozimin e vetëkënaqur të filozofit . 
Elementi etik që ka qenë i spikatur në shumë prej sistemeve më të famshëm të filozofisë është, për mendimin tim, një nga pengesat më serioze për fitoren e metodës shkencore dhe në hetimin e pyetjeve filozofike. Nocionet etike njerëzore, siç është perceptuar në filozofinë e Chuang Tzu, janë në thelb antropocentrike, dhe përfshijnë, kur përdoren në metafizikë, një përpjekje, sado e mbuluar, të ligjësojë për universin mbi bazën e dëshirave të tanishme të njerëzve. Në këtë mënyrë ata ndërhyjnë në atë pranueshmëri ndaj faktit që është thelbi i qëndrimit shkencor ndaj botës. Të konsiderosh nocione etike si çelës për të kuptuarit e botës është në thelb parakopernikane. Është për të formuar njeriun, me shpresat dhe idealet që ai ka në momentin e tanishëm, qendra e universit dhe interpretuesi i synimeve dhe qëllimeve të supozuara të tij. Metafizika etike është thelbësisht një përpjekje, sado e maskuar, për t’i dhënë forcë legjislative dëshirave tona. Kjo, natyrisht, mund të vihet në dyshim, por unë mendoj se konfirmohet nga një konsideratë e mënyrës në të cilën lindin nocione etike. Etika është në thelb një produkt i instinktit të pafytyrueshëm, domethënë i instinktit për të bashkëpunuar me ata që do të formojnë grupin tonë kundër atyre që i përkasin grupeve të tjera. Ata që i përkasin grupit tonë janë të mirë; ata që i përkasin grupeve armiqësore janë të këqij. Përfundimet të cilat ndiqen nga vetë grupi ynë janë qëllime të dëshirueshme, skajet e ndjekura nga grupe armiqësore janë të paqëndrueshme. Subjektiviteti i kësaj situate nuk është i dukshëm për kafshën gregare, e cila mendon se parimet e përgjithshme të drejtësisë janë në anën e tufës së vet. Kur kafsha ka arritur në dinjitetin e metafizikanit, ajo shpik etikën si mishërim i besimit të saj në drejtësinë e tufës së vet. Pra, bariu thirret në etikë si justifikim i njeriut në konfliktet e tyre me kafshët. Por, mund të thuhet, kjo pikëpamje e etikës nuk merr parasysh nocione të tilla vërtet etike si ajo e vetëflijimit. Megjithatë, ky do të ishte një gabim. Suksesi i kafshëve gregare në luftën për ekzistencë varet nga bashkëpunimi brenda tufës, dhe bashkëpunimi kërkon sakrificë, deri në një farë mase, për atë që përndryshe do të ishte interesi i individit. Prandaj lind një konflikt i dëshirave dhe instinkteve, pasi që vetë-ruajtja dhe ruajtja e tufës janë qëllime biologjike të individit. Etika është në origjinë arti i rekomandimit të të tjerëve sakrificat e kërkuara për bashkëpunimin me veten. Prandaj, përmes reflektimit, vjen, përmes funksionimit të drejtësisë sociale, të rekomandojë sakrifica nga vetvetja, por e gjithë etika, sado e rafinuar, mbetet pak a shumë subjektive. Edhe vegjetarianët nuk hezitojnë, për shembull, të shpëtojnë jetën e një njeriu në ethet e vdekjes, megjithëse duke vepruar kështu ata shkatërrojnë jetën e shumë miliona mikrobeve. Pamja e botës e marrë nga filozofia, e marrë nga nocionet etike nuk është asnjëherë e paanshme dhe prandaj nuk është plotësisht shkencore. Në krahasim me shkencën, ajo nuk arrin të arrijë çlirimin imagjinativ nga vetja i cili është i nevojshëm për një kuptim të tillë të botës, pasi njeriu mund të shpresojë të arrijë, dhe filozofia që ajo frymëzon është gjithmonë pak a shumë parokiale, pak a shumë e infektuar me paragjykimet të një kohe dhe një vendi. Unë nuk e mohoj rëndësinë ose vlerën, brenda sferës së vet, të një lloji filozofie e cila frymëzohet nga nocionet etike. Puna etike e Spinozës, për shembull, më duket shumë e rëndësishme, por ajo që është e vlefshme në një punë të tillë nuk është asnjë teori metafizike sa i përket natyrës së botës, në të cilën mund të lindë, e as në të vërtetë asgjë që mund të jetë vërtetuar ose kundërshtuar me argument. Ajo që është e vlefshme është tregimi i një mënyre të re të ndjenjës drejt jetës dhe botës, një mënyrë e ndjenjës me të cilën ekzistenca jonë personale mund të fitojë më shumë karakteristika të cilat duhet ti dëshirojmë thellësisht. Vlera e një pune të tillë, sado e pafalshme të jetë, i takon praktikës dhe jo më teorisë. Një rëndësi e tillë teorike mund ose ka të bëjë vetëm me natyrën njerëzore, jo në lidhje me botën në përgjithësi. 

Filozofia shkencore, pra, e cila synon vetëm të kuptuarit e botës dhe jo drejtpërdrejt në ndonjë përmirësim tjetër të jetës njerëzore, nuk mund të marrë parasysh nocionet etike pa u larguar nga ai nënshtrim ndaj faktit që është thelbi i temperamentit shkencor.

#NdalohetKopjimi 
#Lejohetshpërndarja 

#Librikomenti 

Saturday, May 30, 2020

Drejtësia sipas interesave

Të jesh i drejtë nuk mjafton për të qenë në krahun e së drejtës ! 
Duhet të jesh dhe i sinqertë në drejtësinë që pretendon se po mbron. 
Ka njerëz të cilët nuk janë të sinqertë kur bëhen të drejtë ndaj dikujt. Dmth drejtësinë e përdorin sipas interesave të tyre, jo sepse janë të drejtë me tjetrin. Këta njerëz kur nuk kanë ndonjë përfitim, qëndrojnë indiferentë ndaj drejtësisë, pra, e përdorin drejtësinë kur kanë përfitim. 
Këta mendojnë : - çfarë më duhet mua se kush e ka të drejtë apo gabim !?  
Pra, nuk mjafton të dish çfarë është e drejtë e çfarë e gabuar por duhet të jesh i sinqertë për të mbajtur anën e duhur, qoftë dhe në dëm të vetes. 
A ka padrejtësi më të madhe sesa kur e përdor drejtësinë kur ke interes!? 
Ky është njeriu më i lig, njeri që parim ka interesin kapital, jo të vendosë drejtësi aty ku ka padrejtësi!

Tuesday, May 26, 2020

Bota nuk është e jotja

Bota nuk është e jotja që të bësh ndarjen sipas interesave, racave apo feve! Bota është e çdo kujt që ka lindur për të jetuar, e çdokujt që ka të drejtën të marrë frymë, e çdo kujt që ka shpirt për ta ushqyer. Bota nuk është e drejta e dikujt apo e një grupi të caktuar të cilët kanë fituar pushtet dhe pasuri! Bota është një vend ku çdo njeri ka të drejtën për të marrë dhe dhënë diçka. Kjo botë nuk është e askujt por e të gjithëve ! 
Kjo botë ka qenë para se ti të lindje dhe do të jetë kur ti të vdesësh.
Atëherë ku e gjen ti të drejtën të bësh një ndarje të tillë se kush duhet të jetojë e kush jo, ku duhet të jetojë e ku jo, si të jetojë dhe si jo !? 
A je ti Krijuesi i këtij vendi!? A nuk je dhe ti shpirt si të gjithë shpirtrat e tjerë të vdekshëm!?

Do të doja të lexoja njeriun mes fjalësh

Shumë dëshirë kam pasur të lexoj shkrime origjinale jo fallco, të natyrshme jo imitime, shkrime të cilat burojnë nga shpirtrat e tyre, nga mendjet e tyre të formuara ashtu siç janë, me nivel të lartë apo të ulët, shkrime të cilat përcjellin një ide të tyren, një mesazh nga përvoja e tyre jetësore, një zë të tyre që vjen nga një botë e largët mbushur me fantazi dhe ëndrra, nga një botë e panjohur të cilën vetëm ai/ajo e di. Do të doja të lexoja njeriun mes fjalësh, të njihja udhëtimet e tij, uljet dhe ngritjet gjatë jetës, botëkuptimin, vizionet...e gjithçka tjetër që i përket njeriut unik. 
Mjafton të mos jetë kopja, imitimi, shpirti, ideja e dikujt, apo deri në frazat e që ka përdorur dikush tjetër! 
Shumica e shkrimeve që më kërkojnë ti lexoj apo shkrime që më dalin përpara këtu në fb, apo të shkoj dhe më larg, shkrime që kam gjetur nëpër botime të reja, janë që të gjitha të grabitura!
Pse o njerëz jetoni me meritat e të tjerëve!? 
Pse nuk punoni me veten tuaj për të dhënë diçka nga vetja qoftë dhe pak fare, vetëm të jetë pjesë e jotja !? 

E di që dhe këtë postim do e merrni dhe do e ndryshoni për të thënë diku se ju kanë bërë të njëjtën gjë! 😏

Monday, May 25, 2020

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA

Pjesa e katërt dhe e fundit 

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA 

Kjo ishte mënyra në të cilën zbuluam se ka aq shumë numra sa ka numra. Çdo numër mund të dyfishohet, dhe çdo numër i barabartë mund të përgjysmohet, dhe secili proces jep vetëm një numër që korrespondon me atë që është dyfishuar ose përgjysmuar. Dhe në këtë mënyrë mund të gjejmë çdo numër koleksionesh secila prej të cilave ka po aq terma sa ka numra të kufizuar. Nëse çdo term i një koleksioni mund të bashkohet në një numër, dhe të gjithë numrat e fundëm të përdoren një herë, dhe vetëm një herë, në proces, atëherë koleksioni ynë duhet të ketë po aq terma sa ka numra të kufizuar. Kjo është metoda e përgjithshme me të cilën përcaktohen numrat e koleksioneve të pafundme. Por nuk duhet të supozohet se të gjithë numrat e pafund janë të barabartë. Përkundrazi, ka pafundësisht më shumë numra pafund sesa ato të fundme. Ka më shumë mënyra për të rregulluar numrat e fundëm në lloje të ndryshme të serive sesa ka numra të kufizuar. Ndoshta ka më shumë pikë në hapësirë dhe më shumë momente në kohë sesa ka numra të kufizuar. Ekzistojnë saktësisht po aq thyesa sa numrat e tërë, megjithëse ekziston një numër i pafundmë thyesash midis dy numrave të tërë. Por ka më shumë numra irracionalë sesa ka numra të tërë ose thyesa. Me siguri ka saktësisht po aq pika në hapësirë sa ka numra irracionalë, dhe saktësisht sa më shumë pika në një vijë në një miliontë e një inç të gjatë sa ka në tërë hapësirën e pafund. Ekziston një më e madhja nga të gjithë numrat e pafund, që është numri i gjërave krejt, i çdo lloji. Është e qartë se nuk mund të ketë një numër më të madh se kjo, sepse, nëse gjithçka është marrë, nuk mbetet asgjë për të shtuar. Cantor ka një dëshmi se nuk ka numër më të madh, dhe nëse kjo provë do të ishte e vlefshme, kontradiktat e pafundësisë do të rishfaqeshin në një formë të sublimuar. Por në këtë pikë, mjeshtri ka qenë fajtor për një gabim shumë delikate, që shpresoj ta shpjegoj herës tjetër. Tani mund ta kuptojmë pse Zeno besonte se Akili nuk mund të kapërcejë breshkën dhe pse në fakt ai mund ta kapërcejë atë. Ne do të shohim që të gjithë njerëzit që nuk ishin dakord me Zeno nuk kishin të drejtë ta bëjnë këtë, sepse të gjithë pranuan ambiente nga të cilat pasuan përfundimin e tij. Argumenti është ky: Le të fillojë Akili dhe breshka të fillojnë përgjatë një rruge në të njëjtën kohë, breshkës i (siç është vetëm e drejtë) lejohet një handikap. Le të shkojë Akili dy herë më shpejt se breshka, ose dhjetë herë ose njëqind herë më shpejt. Atëherë ai kurrë nuk do të arrijë breshkën. Sepse në çdo moment breshka është diku dhe Akili është diku; dhe asnjëra nuk është dy herë në të njëjtin vend ndërsa gara po vazhdon. Kështu breshka shkon në po aq vende sa Akili, sepse secila është në një vend në një moment, dhe në një tjetër në çdo moment tjetër. Por nëse Akili do të merrej me breshkën, vendet ku do të ishte breshka do të ishin vetëm pjesë e vendeve ku Akili do të ishte. Këtu, duhet të supozojmë, Zeno apeloi në maksimum që e tëra ka më shumë terma sesa pjesa. Kështu që nëse Akili do të kapërcejë breshkën, ai do të kishte qenë në më shumë vende sesa breshka; por ne pamë se ai duhet, në çdo periudhë, të jetë në pikërisht në shumë vende si breshka. Prandaj konstatojmë se ai kurrë nuk mund ta kapë breshkën. Ky argument është rreptësisht i saktë, nëse lejojmë aksiomën se e tëra ka më shumë terma sesa pjesa. Si përfundim është absurde, aksioma duhet të refuzohet, dhe pastaj gjithçka shkon mirë. Por nuk ka asnjë fjalë të mirë për t'u thënë për filozofët e dy mijë viteve dhe më shumë, të cilët të gjithë e kanë lejuar aksiomën dhe e kanë mohuar përfundimin. Ruajtja e këtij aksiomi çon në kontradikta absolute, ndërsa refuzimi i saj çon vetëm në çudira. Disa nga këto çuditete,që duhet të rrëfehen, janë shumë të çuditshme. Një prej tyre, që unë e quaj si paradoks i Tristram Shandy, është biseda e Akilit, dhe tregon se breshka, nëse i jepni kohë, do të shkojë aq larg sa Akili. Tristram Shandy, siç e dimë, punoi dy vjet në kronikimin e dy ditëve të para të jetës së tij, dhe u ankua që, me këtë ritëm, materiali të grumbullohej më shpejt nga sa mund të merrej me të, kështu që, me kalimin e viteve, ai do të ishte më larg nga fundi i historisë së tij. Tani unë pohoj se, nëse ai do të kishte jetuar përgjithmonë, dhe të mos e kishte lodhur detyrën e tij, atëherë, edhe sikur jeta e tij të kishte vazhduar si ngjarje plotësisht siç filloi, asnjë pjesë e biografisë së tij nuk do të kishte mbetur e pashkruar. Konsideroni: dita e njëqind do të përshkruhet në vitin e njëqind, e mijta në vitin një mijë, etj. Çfarëdo dite që mund të zgjedhim deri më tani që ai nuk mund të shpresojë ta arrijë atë, ajo ditë do të përshkruhet në vitin përkatës. Kështu që çdo ditë që mund të përmendet do të shkruhet herët a vonë, dhe për këtë arsye asnjë pjesë e biografisë nuk do të mbetet përgjithmonë e pashkruar. Ky propozim paradoksal, por krejtësisht i vërtetë, varet nga fakti se numri i ditëve në të gjitha kohërat nuk është më i madh se numri i viteve. Kështu që në temën e pafundësisë është e pamundur të shmangen përfundime të cilat në pamje të parë duken paradoksale, dhe kjo është arsyeja pse kaq shumë filozofë kanë menduar se ka patur kontradikta të pafundme. Por një praktikë e vogël mundëson që dikush të kuptojë parimet e vërteta të doktrinës së Kantorit dhe të përvetësojë instinkte të reja dhe më të mira sa i përket të vërtetës dhe të rremave. Çuditjet nuk bëhen më të çuditshme se kur njerëzit janë në antipodë, të cilët dikur mendoheshin të pamundura sepse do ta shihnin të papërshtatshëm ti mbanin në kokë. Zgjidhja e problemeve në lidhje me pafundësinë i ka mundësuar Kantorit të zgjidhë edhe problemet e vazhdimësisë. Për këtë, për sa i përket pafundësisë, ai ka dhënë një përkufizim të saktë dhe ka treguar se nuk ka kundërshtime në nocionin e përcaktuar ashtu. Por kjo temë është aq teknike sa është e pamundur të japësh llogari këtu. Nocioni i vazhdimësisë varet nga ai i _order_, pasi vazhdimësia është thjesht një lloj rregulli i veçantë. Në kohët moderne matematika ka sjellë rendin në një rëndësi më të madhe. Në ditët e mëparshme, ishte menduar (dhe filozofët janë ende të prirur të supozojnë) se sasia ishte nocioni themelor i matematikës. Por në ditët e sotme, sasia është dëbuar krejt, përveç nga një cep i vogël i Gjeometrisë, ndërsa rendi gjithnjë e më shumë po mbretëron në pushtetin suprem. Hetimi i llojeve të ndryshme të serive dhe marrëdhëniet e tyre tani është një pjesë shumë e madhe e matematikës, dhe është zbuluar se ky hetim mund të bëhet pa ndonjë referencë në sasi, dhe, në pjesën më të madhe, pa ndonjë referencë në numër. Të gjitha llojet e serive janë të afta për përcaktim zyrtar, dhe gjërat e tyre mund të nxirren nga parimet e logjikës simbolike me anë të Algjebrës të afërmve. Nocioni i një kufiri, i cili është thelbësor në pjesën më të madhe të matematikës më të lartë, dikur përcaktohej me anë të sasisë, si një term në të cilin termat e disa serive përafrojnë sa gati aq sa dëshirojmë. Por në ditët e sotme, kufiri përcaktohet krejt ndryshe, dhe seritë që ai kufizon mund të mos përafrohen fare. Ky përmirësim gjithashtu është për shkak të Cantor, dhe është ai që ka revolucionarizuar në matematikë. Vetëm rendi tani është i rëndësishëm për kufijtë. Kështu, për shembull, më e vogla e numrave të pafundmë është kufiri i numrave të plotë të kufizuar, megjithëse të gjithë numrat e plotë të kufizuar janë në një distancë të pafundme prej tij. Studimi i llojeve të ndryshme të serive është një lëndë e përgjithshme për të cilën studimi i numrave rendor (i përmendur më lart) është një degë e veçantë dhe shumë interesante. Por teknikat e pashmangshme të kësaj lënde e bëjnë të pamundur t'u shpjegohet ndonjë matematikani, por me profesion. Gjeometria, si Arithmetika, është përfshirë, në kohët e fundit, nën studimin e përgjithshëm të rendit. Më parë supozohej se Gjeometria ishte studimi i natyrës së hapësirës në të cilën jetojmë, dhe në përputhje me rrethanat është nxitur, nga ata që thanë se ajo që ekziston mund të dihet vetëm në mënyrë empirike, se Gjeometria duhet të konsiderohet me të vërtetë se i përket matematikës së aplikuar . Por gradualisht është shfaqur, me rritjen e sistemeve jo-Euklidiane , se Gjeometria nuk hedh më shumë dritë mbi natyrën e hapësirës sesa Arithmetika hedh mbi popullsinë e Shteteve të Bashkuara. Gjeometria është një koleksion i tërë i shkencave deduktive bazuar në një koleksion përkatës të grupeve të aksiomave. Një grup aksiomash është tek Euklidi; grupe të tjera po aq të mira të aksiomave çojnë në rezultate të tjera. Nëse aksiomat e Euklidit janë të vërteta, është një pyetje se cili matematikan i pastër është indiferent; dhe, për më tepër, është një pyetje për të cilën është teorikisht e pamundur të përgjigjemi me siguri në pohime. Mund të tregohet, me matje shumë të kujdesshme, se aksiomat e Euklidit janë false; por asnjë matje nuk mund të na siguronte kurrë (për shkak të gabimeve të vëzhgimit) se ato janë saktësisht të vërteta. Kështu, gjeometri i lë njeriut të shkencës që të vendosë, sa më mirë që mundet, cilat aksioma të jenë pothuajse të vërteta në botën aktuale. Gjeometri merr çdo grup aksiomash që duken interesante, dhe nxjerr pasojat e tyre. Ajo që përcakton Gjeometrinë, në këtë kuptim, është se aksiomat duhet të krijojnë një seri më shumë se një dimension. Dhe është kështu që Gjeometria bëhet një departament në studimin e rendit. Në Gjeometri, si në pjesët e tjera të matematikës, Peano dhe dishepujt e tij kanë bërë punë me meritë shumë më të madhe përsa i përket parimeve. Më parë, ajo ishte mbajtur nga filozofët dhe matematikanët ashtu që provat në Gjeometri varen nga figurat; në ditët e sotme, kjo dihet se është e rreme. Në librat më të mirë nuk ka shifra fare. Arsyetimi vijon nga rregullat e rrepta të logjikës formale nga një grup i aksiomave të përcaktuara për të filluar. Nëse përdoret një figurë, të gjitha llojet e gjërave të tjera duket qartë se duhet ti ndjekin, të cilat asnjë arsyetim zyrtar nuk mund të provojë nga aksiomat e qarta, dhe të cilat, si një fakt, pranohen vetëm sepse ato janë të dukshme. Duke dëbuar figurën, bëhet e mundur për të zbuluar _all_ aksiomat që janë të nevojshme; dhe në këtë mënyrë, të gjitha llojet e mundësive, të cilat përndryshe do të mbeteshin të pazbuluara, nxirren në dritë. Një përparim i shkëlqyeshëm, nga këndvështrimi i korrektësisë, është bërë duke futur pika siç kërkohen, dhe jo duke filluar, siç është bërë më parë, duke supozuar tërë hapësirën. Kjo metodë i takon pjesërisht Peano-së, pjesërisht një italiani tjetër të quajtur Fano. Për ata që nuk janë mësuar me të, ajo ka një klimë të pedantrisë disi të qëllimshme. Në këtë mënyrë, ne fillojmë me aksiomat e mëposhtme: (1) Ekziston një klasë e subjekteve që quhen _points_. (2) Ekziston të paktën një pikë. (3) Nëse _a_ është një pikë, ekziston të paktën një pikë tjetër përveç _a_. Atëherë ne sjellim në vijë të drejtë bashkimin e dy pikave, dhe fillojmë përsëri me (4), domethënë, në vijë të drejtë duke u bashkuar _a_ dhe _b_, ekziston të paktën një pikë tjetër përveç _a_ dhe _b_. (5) Ka të paktën një pikë jo në vijën _ab_. Dhe kështu vazhdojmë, derisa të kemi mjetet për të marrë sa më shumë pikë që kërkojmë. Por fjala _space_, siç vëren me humor Humano, është një gjë për të cilën Gjeometria nuk ka lidhje fare. Metodat e ngurta të përdorura nga gjeometrat modernë e kanë hequr Euklidin nga kulmi i tij i korrektësisë. U mendua, deri në kohët e fundit, se, siç përmendi Sir Henry Savile në 1621, kishte vetëm dy të meta tek Euklidi, teoria e paraleleve dhe teoria e proporcionit. Tani dihet se këto janë pothuajse të vetmet pika në të cilat Euklidi është i lirë nga njollat. Gabime të panumërta janë përfshirë në tetë propozimet e tij të para. Kjo do të thotë, jo vetëm që është e dyshimtë nëse aksiomat e tij janë të vërteta, që është një çështje relativisht e parëndësishme, por është e sigurt që propozimet e tij nuk vijojnë nga aksiomat që ai shqipton. Një numër shumë më i madh i aksiomave, të cilat Euklidi përdor pa vetëdije, kërkohen për provën e propozimeve të tij. Edhe në propozimin e parë të të gjithëve, ku ai ndërton një trekëndësh barabrinjës në një bazë të caktuar, ai përdor dy qarqe për të cilat supozohet se kryqëzohen. Por asnjë aksiomë e qartë nuk na siguron se ata e bëjnë këtë, dhe në disa lloje hapësirash ato jo gjithmonë kryqëzohen. Kjo është mjaft e dyshimtë nëse hapësira jonë i përket një prej këtyre llojeve apo jo. Kështu, Euklidi nuk arrin të provojë plotësisht pikën e tij në propozimin e parë. Meqenëse ai me siguri nuk është një autor i lehtë dhe është shumë i gjatë, ai nuk ka më interes, por thjesht interes historik. Në këto rrethana, nuk është asgjë më pak se një skandal që ai ende duhet t'u mësohet nxënësve. Një libër duhet të ketë ose kuptueshmëri ose korrektësi; të kombinohen të dy është e pamundur, por të mungojnë të dy është të jesh i padenjë për një vend të tillë që Euklidi ka zënë në arsim. Rezultati më i jashtëzakonshëm i metodave moderne në matematikë është rëndësia e logjikës simbolike dhe e formalizmit të ngurtë. Matematikanë, nën ndikimin e Weierstrass, kanë treguar në kohët moderne një kujdes për saktësinë dhe një shmangie ndaj arsyetimit të slipshodit, siç nuk ishte njohur midis tyre më parë që nga koha e Grekëve. Shpikjet e mëdha të shekullit të 17-të - Gjeometria Analitike dhe Llogaritja e Pafundme - ishin aq të frytshme në rezultate të reja, sa që matematikanët nuk kishin as kohë dhe as prirje për të shqyrtuar themelet e tyre. Filozofët, të cilët duhet të kishin marrë detyrën, kishin shumë pak aftësi matematikore për të shpikur degët e reja të matematikës të cilat tani janë gjetur të nevojshme për çdo diskutim adekuat. 
Kështu, matematikanët u zgjuan vetëm nga "lagjet e tyre dogmatike" kur Weierstrass dhe pasuesit e tij treguan se shumë prej propozimeve të tyre më të dashura janë në përgjithësi të rreme. Macaulay, duke kundërshtuar sigurinë e matematikës me pasigurinë e filozofisë, pyet kush që ka dëgjuar ndonjëherë për një reagim kundër teoremës së Taylor? Nëse ai do të kishte jetuar tani, ai vetë mund të kishte dëgjuar për një reagim të tillë, sepse kjo është pikërisht një nga teoremat që hetimet moderne kanë rrëzuar. Tronditje të tilla të vrazhda ndaj besimit matematikor kanë prodhuar atë dashuri ndaj formalizmit, e cila shfaqet, për ata që janë injorantë për motivin e saj, të jenë thjesht pedantë të egër.
Dëshmia që e gjithë matematika e pastër, përfshirë Gjeometrinë, nuk është asgjë tjetër përveç logjikës formale, është një goditje fatale për filozofinë Kantiane. Kanti, me të drejtë duke perceptuar se propozimet e Euklidit nuk mund të nxirreshin nga aksiomat e Eukliditit pa ndihmën e figurave, shpiku një teori të dijes për të dhënë llogari për këtë fakt; dhe llogariste aq me sukses sa që, kur fakti tregohet se është thjesht një defekt i Euklidit, dhe jo si rezultat i natyrës së arsyetimit gjeometrik, teoria e Kantit gjithashtu duhet të braktiset. E gjithë doktrina e intuitive _a priori_, me anë të së cilës Kanti shpjegoi mundësinë e matematikës së pastër, është plotësisht e pa zbatueshme për matematikën në formën e saj të tanishme. Doktrinat Aristoteliane të arsimtarëve u afrohen më shumë frymës doktrinave që frymëzojnë matematika moderne; por nxënësit e shkollës u penguan nga fakti se logjika e tyre formale ishte shumë e dëmtuar dhe logjika filozofike e mbështetur në silogjizëm tregoi një ngushtësi përkatëse. Ajo që kërkohet tani është t'i jepet zhvillimi më i madh i mundshëm logjikës matematikore, të lejojë në tërësi rëndësinë e marrëdhënieve, dhe pastaj të gjesh mbi këtë bazë të sigurt një logjikë të re filozofike, e cila mund të shpresojë të huazojë disa nga saktësia dhe siguria e themelit të saj matematikor. Nëse kjo mund të realizohet me sukses, ekziston çdo arsye për të shpresuar se e ardhmja e afërt do të jetë po aq epokë në filozofinë e pastër sa e kaluara e menjëhershme ka qenë në parimet e matematikës. Triumfet e mëdha frymëzojnë shpresa të mëdha; dhe mendimi i pastër mund të arrijë, brenda gjeneratës sonë, rezultate të tilla që do të vendosin kohën tonë, në këtë drejtim, në një nivel me epokën më të madhe të Greqisë. 

#NdalohetKopjimi 
#Lejohetshpërndarja 

#Librikomenti

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA

Pjesa e tretë

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA

Pasi u refuzuan nga Aristoteli, dhe nga çdo filozof pasues që nga ajo ditë deri në tonën, këto argumente u rikthyen, dhe bënë bazën e një rilindjeje matematikore, nga një profesor gjerman, i cili ndoshta kurrë nuk ëndërroi për ndonjë lidhje midis tij dhe Zenos. Weierstrass, duke dëbuar rreptësisht nga matematika përdorimin e infinitit, më në fund ka treguar që jetojmë në një botë të pandryshueshme, dhe se shigjeta në fluturimin e saj është vërtet në qetësi. Gabimi i vetëm i Zenos qëndroi në pohimin (nëse ai konstatoi) se, sepse nuk ka diçka të tillë si një gjendje ndryshimi, prandaj bota është në të njëjtën gjendje në çdo kohë si në çdo tjetër. Kjo është një pasojë e cila në asnjë mënyrë nuk vjen; dhe në këtë drejtim, matematikani gjerman është më konstruktiv sesa greku i zgjuar. Weierstrass ka qenë në gjendje, duke mishëruar pikëpamjet e tij në matematikë, ku familjariteti me të vërtetën eliminon paragjykimet vulgare të sensit të përbashkët, të investojë paradokset e Zeno me ajrin e respektuar të platituds; dhe nëse rezultati është më pak i lezetshëm për dashnorin e arsyes sesa mbrojtja e guximshme e Zeno, është në çdo rast më e llogaritur për të qetësuar masën e njerëzimit akademik. Zeno ishte i shqetësuar, në të vërtetë, me tre probleme, secili i paraqitur me lëvizje, por secili më abstrakt se lëvizja, dhe i aftë për një trajtim thjesht aritmetik. Këto janë problemet e pafundësisë, ndryshimit dhe vazhdimësisë. Të thuash qartë vështirësitë e përfshira ishte të realizohej ndoshta pjesa më e vështirë e detyrës së filozofit. Këtë e bëri Zeno. Nga ai deri në ditët tona, intelektet më të mira të çdo brezi nga ana tjetër sulmuan problemet, por arritën, duke folur gjerësisht,në asgjë. Në kohën tonë, megjithatë, tre burra - Weierstrass, Dedekind dhe Cantor - nuk i kanë avancuar thjesht tre problemet, por i kanë zgjidhur plotësisht ato. Zgjidhjet, për ata që njihen me matematikën, janë aq të qarta sa nuk lënë më asnjë dyshim apo vështirësi më të vogël. Kjo arritje është ndoshta më e madhja për të cilën epoka jonë duhet të mburret; dhe unë nuk di asnjë epokë (përveç mbase epokën e artë të Greqisë) e cila ka një provë më bindëse për të ofruar gjenialitetin transcendent të njerëzve të saj të mëdhenj. Nga tre problemet, ai i infiniti u zgjidh nga Weierstrass; zgjidhja e dy të tjerëve u fillua nga Dedekind, dhe përfundimisht u realizua nga Cantor. Infiniti luajti më parë një rol të madh në matematikë. U prezantua nga Grekët, të cilët e konsideruan një rreth si të ndryshëm pafundësisht nga një poligon me një numër shumë të madh të palëve të barabarta në shumë të vogla. Ajo gradualisht u rrit në rëndësi, derisa, kur Leibniz shpiku Llogaritën e Pafundme, dukej se bëhej nocioni themelor i të gjitha matematikave më të larta. Carlyle tregon, në _Frederick the Great_, se si Leibniz e mësonte Mbretëreshën Sophia Charlotte of Prussia në lidhje me pafundësinë, dhe si ajo përgjigjej se në atë temë ajo nuk kishte nevojë për udhëzime - sjellja e oborrtarëve e kishte bërë atë plotësisht të njohur me të. Por filozofët dhe matematikanët - të cilët për pjesën më të madhe kishin më pak njohje me gjykatat - vazhduan të diskutojnë këtë temë, megjithëse pa bërë ndonjë përparim. Llogaritësi kërkonte vazhdimësi, dhe vazhdimësia duhej të kërkonte pafundësinë; por askush nuk mund të zbulojë se çfarë pafundësisht mund të jetë. Ishte thjesht një zero, sepse një numër mjaft i madh i infinitit, të shtuar së bashku, u panë që përbënin një tërësi të fundme. Por askush nuk mund të tregojë ndonjë pjesë që nuk ishte zero, dhe akoma jo e fundme. Kështu pati një bllokim. Por më në fund Weierstrass zbuloi se pafundësia nuk ishte aspak e nevojshme dhe se gjithçka mund të realizohej pa të. Kështu që nuk kishte më nevojë të supozohej se ekzistonte një gjë e tillë. Në ditët e sotme, pra, matematikanët janë më dinjitozë se Leibniz: në vend që të flasin për "pafundësisht të vegjël", ata flasin për "pafundësisht të shkëlqyeshmin" - një temë e cila, sado e përshtatshme për monarkët, duket se fatkeqësisht do t’i interesojë ata edhe më pak se monarkët për të cilët Leibniz-i diskursoi. Braktisja e pafundësisë ka të gjitha llojet e pasojave të çuditshme, të cilave njeriu duhet të mësohet gradualisht. Për shembull, nuk ka diçka të tillë si momenti tjetër. Intervali midis një momenti dhe tjetrit do të duhet të jetë infiniti, pasi, nëse marrim dy momente me një interval të kufizuar midis tyre, gjithmonë ka momente të tjera në interval. Kështu që nëse nuk do të ketë pafundësi, asnjë nga dy momentet nuk janë mjaft të njëpasnjëshëm, por gjithmonë ka momente të tjera midis secilit. Prandaj duhet të ketë një numër të pafundmë momentesh midis secilës; sepse nëse do të kishte një numër të fundëm, njëshi do të ishte më e afërta e para nga dy momentet, dhe për këtë arsye pranë saj. Kjo mund të mendohet se është një vështirësi; por, në të vërtetë, këtu është filozofia e pafundësisë dhe i bën të gjitha drejt. E njëjta lloj gjëje ndodh në hapësirë. Nëse ndonjë pjesë e lëndës pritet në dy, dhe pastaj secila pjesë të përgjysmohet, dhe kështu me radhë, copat do të bëhen më të vogla dhe më të vogla, dhe teorikisht mund të bëhen aq të vogla sa ne dëshirojmë. Sado të jenë të vegjël, ato prapë bëhen dhe më të vogla. Por ata gjithmonë do të kenë madhësi _X_ të fundme, sado të vogla të jenë. Asnjëherë nuk arrijmë në pafundësi në këtë mënyrë, dhe asnjë numër i kufizuar i ndarjeve nuk do të na çojë në një pikë. Sidoqoftë, ka shumë pika, vetëm këto nuk duhet të arrihen nga ndarjet e njëpasnjëshme. Këtu përsëri, filozofia e pafundësisë na tregon se si është e mundur kjo, dhe pse pikat nuk janë me gjatësi infiniti. Sa i përket lëvizjes dhe ndryshimit, ne marrim rezultate në të njëjtën mënyrë kurioze. Njerëzit mendonin se kur një gjë ndryshon, ajo duhet të jetë në një gjendje ndryshimi dhe se kur sendi lëviz, ai është në gjendje lëvizjeje. Tani dihet se është një gabim. Kur një trup lëviz, gjithçka që mund të thuhet është se është në një vend, në një kohë dhe në një tjetër hapësirë. Ne nuk duhet të themi se do të jetë në një vend fqinj në çastin tjetër, pasi nuk ka asnjë çast tjetër. Filozofët shpesh na thonë se kur një trup është në lëvizje, ai ndryshon pozicionin e tij brenda 50 Instant. Për këtë këndvështrim Zeno kohë më parë dha një përgjigje fatale që çdo trup gjithmonë është aty ku është; por një reagim kaq i thjeshtë dhe i shkurtër nuk ishte i llojit me të cilin filozofët janë mësuar të japin peshë, dhe ata kanë vazhduar deri në ditët tona për të përsëritur të njëjtat fraza që ngjallën erën shkatërruese të Eleatic. Vetëm kohët e fundit u bë e mundur për të shpjeguar lëvizjen në detaje në përputhje me gjerësinë e Zeno, dhe në kundërshtim me paradoksin e filozofit. Ne tani mund të kënaqemi më në fund me besimin e rehatshëm se një trup në lëvizje është po aq i vërtetë sa është edhe një trup në pushim. Lëvizja konsiston thjesht në faktin se trupat ndonjëherë janë në një vend dhe nganjëherë në një tjetër, dhe se ato janë në vende të ndërmjetme në kohë të ndërmjetme. Vetëm ata që kanë përshkuar pendimet e spekulimeve filozofike mbi këtë temë mund të kuptojnë se çfarë çlirimi nga paragjykimet antike përfshihet në këtë zakon të thjeshtë dhe të drejtpërdrejtë. Filozofia e pafundësisë, siç kemi parë, është kryesisht negative. Njerëzit më parë besonin në të, dhe tani ata zbuluan gabimin e tyre. Filozofia e pafundësisë, nga ana tjetër, është tërësisht pozitive. Më parë supozohej se numrat e pafund, dhe përgjithësisht pafundësia matematikore, ishin vetë-kontradiktore. Por siç ishte e qartë se kishte pafundësi - për shembull, numri i numrave - kontradiktat e pafundësisë dukeshin të pashmangshme, dhe filozofia dukej se
kishte bredhur në një "kulm-de-sac". Kjo vështirësi çoi në antinomitë e Kantit, dhe rrjedhimisht, pak a shumë në mënyrë indirekte, në pjesën më të madhe të metodës dialektike të Hegelit. Pothuajse e gjithë filozofia e tanishme është e mërzitur nga fakti (për të cilin shumë pak filozofë janë akoma të vetëdijshëm) se të gjitha kontradiktat e lashta dhe të respektueshme në nocionin e pafundësisë janë hedhur një herë e përgjithmonë. Metoda me të cilën është bërë kjo është më interesante dhe mësimore. Në radhë të parë, megjithëse njerëzit kishin folur shkëlqyeshëm për pafundësinë që nga fillimet e mendimit Grek, askush nuk kishte menduar ndonjëherë të pyeste: Çfarë është pafundësia? Nëse ndonjë filozof do të ishte pyetur për një përkufizim të pafundësisë, ai mund të ketë prodhuar disa hije të paqarta, por ai me siguri nuk do të kishte qenë në gjendje të jepte një përcaktim që të kishte ndonjë kuptim. Njëzet vjet më parë, përafërsisht, Dedekind dhe Cantor shtruan këtë pyetje, dhe, çfarë është më e jashtëzakonshme, ata iu përgjigjën kësaj. Ata gjetën, domethënë, një përkufizim të përsosur e të saktë të një numri të pafund ose një koleksioni pafund të gjërave. Ky ishte hapi i parë dhe mbase më i madhi. Më pas mbeti për të shqyrtuar kontradiktat e supozuara në këtë nocion. Këtu Cantor vazhdoi në mënyrën e vetme të duhur. Ai mori palë propozimesh kontradiktore, në të cilat të dy palët e kundërshtimit zakonisht vlerësoheshin si të demonstrueshme, dhe ai ekzaminoi rreptësisht provat e supozuara. Ai zbuloi se të gjitha provat e pafavorshme ndaj pafundësisë përfshinin një parim të caktuar, në pamje të parë padyshim të vërteta, por shkatërrues, në pasojat e tij, të pothuajse të gjithë matematikës. Provat e favorshme për pafundësinë, nga ana tjetër, nuk përfshinin asnjë parim që të sillte pasoja të liga. Kështu që dukej se sensi i zakonshëm e kishte lejuar veten të merrej nga një maksimum i spikatur, dhe se, kur dikur ky maksimum u refuzua, të gjitha kaluan mirë. Maksimumi në fjalë është se nëse një koleksion është pjesë e një tjetri, ajo që është pjesë ka më pak nga ajo prej të cilave është pjesë. Ky maksimum është e vërtetë për numrat e fundëm. Për shembull, anglezë janë vetëm disa në mesin e evropianëve, dhe ka më pak anglezë se evropianët. Por kur arrijmë në numra të pafund, kjo nuk është më e vërtetë. Kjo ndarje e maksimumit na jep përkufizimin e saktë të pafundësisë. Një koleksion termash është i pafund kur përmban si pjesë koleksione të tjera që kanë po aq terma sa ka. Nëse mund të hiqni disa nga termat e një koleksioni, pa zvogëluar numrin e termave, atëherë ka një numër të pafundmë termash në koleksion. Për shembull, ka po aq shumë numra sa ka numra krejt, pasi çdo numër mund të dyfishohet. Kjo mund të shihet duke vendosur numra të çuditshëm dhe të barabartë në një rresht, dhe madje edhe numra vetëm në një rresht më poshtë: 1, 2, 3, 4, 5, _ad infinitum_. 2, 4, 6, 8, 10, _ad infinitum_. Padyshim ka po aq numra në rreshtin më poshtë si në rreshtin më lart, sepse ekziston një më poshtë për secilën më lart. Kjo gjë, e cila dikur mendohej se ishte një kontradiktë, tani është shndërruar në një përkufizim të padëmshëm të pafundësisë, dhe tregon, në rastin e mësipërm, se numri i numrave të fundëm është i pafund. Por, të mund të pyesin se si është e mundur të merresh me një numër që nuk mund të llogaritet. Është e pamundur të numërosh _all_ numrat, një nga një, sepse, megjithëse mund të llogarisim shumë, gjithmonë ka më shumë për t'u ndjekur. Fakti është se numërimi është një mënyrë shumë vulgare dhe elementare për të zbuluar se sa terma ka në një koleksion. Dhe në çdo rast, llogaritja na jep atë që matematikanët e quajnë numrin _ordinal_ të kushteve tona; domethënë, rregullon kushtet tona në një urdhër ose seri, dhe rezultati i saj na tregon se çfarë lloj serie rezulton nga kjo marrëveshje. Me fjalë të tjera, është e pamundur të numërohen gjërat pa llogaritur disa nga të parat dhe të tjerët më pas, kështu që numërimi gjithmonë ka të bëjë me rendin. Tani kur ekzistojnë vetëm një numër termash të kufizuar, ne mund t'i numërojmë ato në çdo mënyrë që na pëlqen; por kur ekziston një numër i pafund, ajo që korrespondon me numërimin do të na japë rezultate krejt të ndryshme sipas mënyrës në të cilën ne kryejmë operacionin. Kështu, numri rendor, i cili rrjedh nga ajo që, në një kuptim të përgjithshëm mund të quhet numërim, varet jo vetëm nga sa terma kemi, por edhe (ku numri i termave është i pafund) nga mënyra në të cilën janë rregulluar termat. Numrat themelorë të pafundmë nuk janë të rregullt, por janë ato që quhen _cardinal_. Ato nuk merren duke i vendosur rregullat tona dhe duke i numëruar ato, por me një metodë tjetër, e cila na thotë, të fillojmë, nëse dy koleksione kanë të njëjtin numër termash, ose, nëse jo, cili është më i madhi. Nuk na tregon, në mënyrën se si bëhet llogaritja, - çfarë numri i termave ka një koleksion; por nëse përcaktojmë një numër si numrin e termave në një koleksion të tillë, atëherë kjo metodë na mundëson të zbulojmë nëse disa koleksione të tjera që mund të përmenden kanë më shumë ose më pak terma. Një ilustrim do të tregojë se si bëhet kjo. Nëse do të ekzistonte ndonjë vend në të cilin, për një arsye ose një tjetër, ishte e pamundur të merrej regjistrimi, por në të cilin dihej që çdo burrë kishte një grua dhe çdo grua një burrë, atëherë (me kusht që poligamia të mos ishte një institucion kombëtar) duhet të dimë, pa llogaritur, se kishte saktësisht aq burra sa kishte gra në atë vend, as më shumë e as më pak. Kjo metodë mund të zbatohet në përgjithësi. Nëse ekziston një lidhje e cila si martesa, lidh gjërat në një koleksion ku secila me një nga gjërat në një koleksion tjetër, dhe anasjelltas, atëherë të dy koleksionet kanë të njëjtin numër termash.

Vazhdon...

#NdalohetKopjimi
#LejohetShpërndarja

#Librikomenti

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA

Pjesa e dytë 

Njerëzit kanë zbuluar se si ta bëjnë arsyetimin simbolik, siç është në Algjebër, në mënyrë që zbritjet të realizohen nga rregullat matematikore. Ata kanë zbuluar shumë rregulla përveç silogjizmit, dhe një degë e re e logjikës, e quajtur Logjika e të afërmve, është shpikur për t'u marrë me tema që tejkaluan tërësisht fuqitë e logjikës së vjetër, megjithëse ato formojnë përmbajtjen kryesore të matematikës . Nuk është e lehtë për mendjen e thjeshtë që të kuptojë rëndësinë e simbolizmit në diskutimin e themeleve të matematikës, dhe shpjegimi ndoshta mund të duket si paradoksal. Fakti është që simbolika është e dobishme sepse i vështirëson gjërat. (Kjo nuk është e vërtetë për pjesët e përparuara të matematikës, por vetëm për fillimet.) Ajo që dëshirojmë të dimë është, çfarë mund të nxirret nga ajo tani. Tani, në fillimet e para, gjithçka është e vetëkuptueshme; dhe është shumë e vështirë të shihet nëse një propozim i vetëkuptueshëm vijon nga një tjetër apo jo. Dukuria është gjithmonë armiku i korrektësisë. Prandaj kemi shpikur një simbolikë të re dhe të vështirë, në të cilën asgjë nuk duket qartë. Atëherë vendosëm rregulla të caktuara për të funksionuar në simbole dhe e gjithë gjëja bëhet mekanike. Në këtë mënyrë ne zbulojmë se çfarë duhet të merret si premisë dhe çfarë mund të demonstrohet ose përcaktohet. Për shembull, e gjithë Aritmetika dhe Algjebra është treguar të kërkojë tre nocione të papërcaktueshme dhe pesë propozime të padepërtueshme. Por pa një simbolikë do të kishte qenë shumë e vështirë për ta zbuluar këtë. Është kaq e qartë që dy dhe dy janë katër, sa vështirë se mund ta bëjmë veten mjaft skeptik të dyshojmë nëse mund të provohet. Dhe e njëjta gjë vlen edhe në raste të tjera kur gjërat vetë-evidentuese duhen provuar. Por prova e propozimeve të vetëkuptueshme mund të duket, për të paditur, një okupim disi joserioz. Për këtë mund të përgjigjemi se shpesh nuk është e qartë se një propozim i qartë rrjedh nga një propozim tjetër i dukshëm; kështu që ne po zbulojmë vërtet të vërteta të reja kur vërtetojmë atë që është e dukshme me një metodë e cila nuk është e qartë. Por një reagim më interesant është se, pasi njerëzit janë përpjekur të provojnë propozime të dukshme, ata kanë zbuluar se shumë prej tyre janë të rremë. Vetë-prova është shpesh një dëshirë e thjeshtë , e cila është e sigurt se do të na devijojë nëse e marrim si udhëzuesin tonë. Për shembull, asgjë nuk është më e qartë se sa një tërësi ka më shumë sesa një pjesë, ose që një numër rritet duke shtuar një në të. Por këto propozime tani dihet se janë zakonisht false. Shumica e numrave janë të pafund, dhe nëse një numër është i pafund, mund t'i shtoni ato për sa kohë që ju pëlqen pa e shqetësuar atë më së paku. Një nga meritat e një prove është se ajo sjell një dyshim të caktuar në lidhje me rezultatin e provuar; dhe ajo që është e dukshme mund të vërtetohet në disa raste, por jo në të tjera, bëhet e mundur të supozohet se në këto raste të tjera është e rreme. Mjeshtri i madh i artit të arsyetimit zyrtar, midis burrave të ditëve tona, është një italian, Profesor Peano, i Universitetit të Torinos. Ai e ka zvogëluar pjesën më të madhe të matematikës (dhe ai ose pasuesit e tij, me kohë, do ta kenë zvogëluar të gjithë) në formë simbolike, në të cilën nuk ka fare fjalë. Në librat e zakonshëm matematikorë, nuk ka dyshim më pak fjalë nga sa do të dëshironin shumica e lexuesve. Prapëseprapë, ndodhin fraza të vogla, si p.sh : " pra, le të supozojmë, marrim në konsideratë_, ose _ vijmë kështu." Sidoqoftë, të gjitha këto janë një lëshim dhe janë shkatërruar nga profesori Peano. Për shembull, nëse dëshirojmë të mësojmë të gjithë Aritmetikën, Algjebrën, Llogaritjen dhe vërtet gjithçka që quhet zakonisht matematikë e pastër (përveç Gjeometrisë), duhet të fillojmë me një fjalor me tre fjalë. Një simbol qëndron për _zero_, një tjetër për _number_, dhe një i tretë _ _ pasxt_. Çfarë kuptojnë këto ide, është e nevojshme ti dini nëse dëshironi të bëheni aritmetik. Por pasi janë shpikur simbole për këto tre ide, nuk kërkohet një fjalë tjetër në tërë zhvillimin. Të gjitha simbolet e ardhshme shpjegohen në mënyrë simbolike me anë të këtyre të treve. Edhe këto tre mund të shpjegohen me anë të nocioneve të _relation_ dhe _class_; por kjo kërkon Logjikën e Marrëdhënieve, të cilën Profesor Peano nuk e ka marrë kurrë. Duhet pranuar se ajo që një matematikan duhet të dijë të fillojë nuk është shumë. Ekzistojnë së paku një duzinë nocionesh nga të cilat janë të ndërlikuara, të gjitha nocionet në të gjitha matematikat e pastra (përfshirë gjeometrinë). Profesori Peano, i cili ndihmohet nga një shkollë shumë e aftë e dishepujve të rinj italianë, ka treguar se si mund të bëhet kjo; dhe megjithëse metoda të cilën ai e ka shpikur është e aftë të bëjë një marrëveshje të mirë më tej se sa ai e ka bartur atë, nderi i pionierit duhet t'i takojë atij. Dyqind vjet më parë, Leibniz parashikoi shkencën që Peano ka përsosur, dhe u përpoq ta krijonte atë. Ai ishte penguar të arrinte sukses duke respektuar autoritetin e Aristotelit, të cilin nuk mund ta besonte fajtor për gabime të caktuara, formale; por tema që ai dëshironte të krijonte tani ekziston, përkundër përbuzjes patronizuese me të cilën skemat e tij janë trajtuar nga të gjithë personat eprorë. Nga kjo "Karakteristike Universale", siç e quante ai, ai shpresonte për zgjidhjen e të gjitha problemeve, dhe përfundimin e të gjitha mosmarrëveshjeve. "Nëse do të lindnin polemika," thotë ai, "nuk do të kishte më nevojë për grindje midis dy filozofëve sesa midis dy llogaritarëve. Për sa do të mjaftonte të merreshin lapsat e tyre në duar, të uleshin në tavolinat e tyre dhe të thoshim njëri-tjetrit (me një mik si dëshmitar, nëse ata pëlqejnë), 'Le të llogarisim.' "" Ky optimizëm tani është dukur disi i tepruar; ende ka probleme, zgjidhja e të cilave është e dyshimtë, dhe mosmarrëveshjet për të cilat llogaritja nuk mund të vendosë. Por mbi një fushë të madhe të asaj që dikur ishte e diskutueshme, ëndrra e Leibniz është bërë një fakt i matur. Në tërë filozofinë e matematikës, e cila dikur ishte të paktën aq e mbushur me dyshime si çdo pjesë tjetër e filozofisë, rendi dhe siguria kanë zëvendësuar konfuzionin dhe hezitimin që mbretëronte më parë. Filozofët, natyrisht, nuk e kanë zbuluar ende këtë fakt, dhe vazhdojnë të shkruajnë për tema të tilla në mënyrën e vjetër. Por matematikanët, të paktën në Itali, kanë tani fuqinë e trajtimit të parimeve të matematikës në mënyrë të saktë dhe mjeshtërore, me anë të të cilave siguria e matematikës shtrihet edhe në filozofinë matematikore. Prandaj, shumë nga temat që dikur vendoseshin midis mistereve të mëdha- për shembull, natyrat e pafundësisë, vazhdimësisë, hapësirës, kohës dhe lëvizjes - tani nuk janë më në asnjë shkallë të hapur për dyshime ose diskutime. Ata që dëshirojnë të dinë natyrën e këtyre gjërave, duhet të lexojnë vetëm veprat e burrave të tillë si Peano ose Georg Cantor; ata do të gjejnë ekspozime të sakta dhe të pashpjegueshme të të gjitha këtyre mistereve. Në këtë botë kapriçioze, asgjë nuk është më kapriçioze se fama pas vdekjes. Një nga shembujt më të dukshëm të mungesës së gjykimit të brezave pasardhës është Elementi Zeno. Ky njeri, i cili mund të vlerësohet si themeluesi i filozofisë së pafundësisë, shfaqet tek Parmenides të Platonit në pozicionin e privilegjuar të mësuesit të Sokratit. Ai shpiku katër argumente, të gjitha jashtëzakonisht delikate dhe të thella, për të dëshmuar se lëvizja është e pamundur, që Akili kurrë nuk mund të kapërcejë breshkën, dhe se një shigjetë në fluturim është vërtet në qetësi. 

Vazhdon...

#NdalohetKopjimi 
#Lejohetshpërndarja 

#Librikomenti

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA

MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA

Pjesa e parë

Shekulli XIX, i cili krenohej me shpikjen e avullit dhe evolucionit, mund të kishte marrë një titull më të ligjshëm për famë nga zbulimi i matematikës së pastër. Kjo shkencë, si shumica e të tjerëve, u pagëzua përpara se të lindte; dhe kështu i gjejmë shkrimtarët para shekullit XIX duke aluduar në atë që ata e quanin matematikë të pastër. Por nëse do të ishin pyetur se cila ishte kjo temë, ata do të kishin mundësi të thoshin se përbëhej nga Aritmetika, Algjebra, Gjeometria, etj. Sa i përket asaj që këto studime kishin të përbashkëta, dhe sa i përket asaj që i dallonte ata nga matematika e aplikuar, paraardhësit tanë ishin plotësisht në errësirë. Matematika e pastër u zbulua nga Boole, në një punë të cilën ai e quajti Llojet e Mendimit (1854). Kjo punë thuhej se nuk ishte matematikore, nga fakti që Boole ishte shumë modest për të supozuar librin e tij të parë të shkruar ndonjëherë në matematikë. Ai gjithashtu kishte gabuar duke supozuar se merrej me ligjet e mendimit: pyetja se si njerëzit në të vërtetë mendojnë se ishte mjaft e parëndësishme për të, dhe nëse libri i tij kishte të vërteta që përmbante ligjet e mendimit, ishin kurioz që askush nuk duhet ta kishte menduar më parë në një mënyrë të tillë. Libri i tij në fakt merrej me logjikën formale, dhe kjo është e njëjta gjë si matematika. Matematika e pastër konsiston tërësisht nga pohimet për efektin se, nëse një propozim i tillë është i vërtetë për _ asgjë_, atëherë një propozim i tillë është i vërtetë për atë gjë. Është thelbësore të mos diskutohet nëse propozimi i parë është me të vërtetë i vërtetë, dhe të mos përmendim se çfarë është gjithçka, për të cilën supozohet të jetë e vërtetë. Të dyja këto pika do t'i përkisnin matematikës së aplikuar. Ne fillojmë, në matematikë të pastër, nga rregulla të caktuara të konkluzionit, me të cilat mund të konkludojmë se _X_ një propozim është i vërtetë, atëherë po kështu është edhe një propozim tjetër. Këto rregulla të përfundimit përbëjnë pjesën kryesore të parimeve të logjikës formale. Ne pastaj marrim çdo hipotezë që duket zbavitëse, dhe nxjerrim pasojat e saj. Nëse hipoteza jonë ka të bëjë me _X asgjë_, dhe jo për disa nga një ose më shumë gjëra të veçanta, atëherë zbritjet tona përbëjnë matematikë. Kështu, matematika mund të përkufizohet si lëndë në të cilën ne kurrë nuk dimë se për çfarë po flasim, as nëse ato që po themi janë të vërteta. Njerëzit të cilët janë në mëdyshje nga fillimet e matematikës, shpresoj se do të gjejnë rehati në këtë përkufizim dhe me siguri do të pajtohen që është i saktë. Ndërsa një nga triumfet kryesore të matematikës moderne konsiston në zbulimin e asaj që është vërtet matematike, disa fjalë të tjera mbi këtë temë mund të mos jenë keq. Është e zakonshme të filloni çdo degë të matematikës - për shembull, Gjeometri - me një numër të caktuar idesh primitive, të supozuara të paafta për përkufizim, dhe një numër të caktuar të propozimeve ose aksiomave primitive, të supozuara të paafta për prova. Tani fakti është se, megjithëse ka të paqarta dhe të papërcaktueshme në çdo degë të matematikës së aplikuar, nuk ka asnjë në matematikë të pastër përveç atyre që i përkasin logjikës së përgjithshme. Logjika, në përgjithësi, dallohet nga fakti se propozimet e saj mund të futen në një formë në të cilën ato vlejnë për çdo gjë. E gjithë matematika e pastër- Aritmetika, Analiza dhe Gjeometria - ndërtohet nga ndërthurjet e ideve primitive të logjikës, dhe propozimet e saj janë nxjerrë nga aksiomat e përgjithshme të logjikës, siç është silogizmi dhe rregullat e tjera të konkluzionit. Dhe kjo nuk është më një ëndërr apo një aspiratë. Përkundrazi, mbi pjesën më të madhe dhe më të vështirë të fushës së matematikës, ajo tashmë është realizuar; në disa raste të mbetura, nuk ka ndonjë vështirësi të veçantë, dhe tani ajo po arrihet me shpejtësi. Filozofët kanë diskutuar për shekuj nëse zbritja e tillë ishte e mundur; matematikanët janë ulur dhe kanë bërë zbritjen. Për filozofët nuk ka ngelur asgjë tjetër veçse mirënjohje të këndshme. Lënda e logjikës formale, e cila më në fund ka treguar se është identike me matematikën, ishte, siç e dinë të gjithë, e shpikur nga Aristoteli që formoi studimin kryesor (përveç teologjisë) të Mesjetës. Por Aristoteli asnjëherë nuk e kapërceu silogjizmin, që është një pjesë shumë e vogël e lëndës, dhe shkollarët e tij nuk ikën kurrë përtej Aristotelit. Nëse kërkohej ndonjë provë e epërsisë sonë ndaj mjekëve mesatar, mund të gjendet në këtë. Përgjatë Mesjetës, pothuajse të gjitha intelektet më të mira iu përkushtuan logjikës formale, ndërsa në shekullin XIX vetëm një pjesë e vogël e mendimit të botës hynte në këtë temë. Sidoqoftë, në çdo dekadë që nga viti 1850 është bërë më shumë për avancimin e temës sesa në tërë periudhën nga Aristoteli deri tek Leibnizi.

Vazhdon...

Sunday, May 24, 2020

filozofi idiot

Idiotin e qeshnin sepse kishte ide qesharake. Ai gjeti një mënyrë tjetër për të shprehur idetë e tija; i zbukuroi me terma filozofikë!
Ata duke patur vështirësi për ti kuptuar fjalët, filluan të bëheshin seriozë, e dëgjonin me vëmendje. Në fund idioti u bë profesori i tyre i filozofisë!

Libri i saj

Ajo kishte shkruar një libër ku i bënte thirrje njerëzve që të mos e shohin botën nga këndvështrimi i të tjerëve, pra ta shohin me syrin e tyre sepse çdo njeri është unik!
Por nga ana tjetër, ky libër i bëri të gjithë ta shihnin botën sipas mënyrës së saj duke i gënjyer se këta po e shohin botën nga këndvështrimi i i tyre !

Friday, May 22, 2020

Ortak në biznesin Jetë

Shpesh ndodhem në një kryqëzim mendimesh e ndjenjash, mes filozofisë dhe romantizmit, mes inteligjencës analitike dhe asaj emocionale.
Njëherë kaloj nga njëra anë e herë nga ana tjetër, duke ngjyer shpirtin dhe mendjen nga pak, nga ajo ngjyrë që ofron ky dualizëm ekstrem. Por për fat të mirë, përfundoj gjithnjë në mesin e artë ku qetësia e shpirtit dhe qartësia e mendjes bëhen ortakë në biznesin Jetë !

Wednesday, May 20, 2020

Mendimi është si varka

Mendimi është si varka; nëse varka qëndron në mol e lidhur, nuk do të thotë se ti ke një mendje e cila mendon. Varka nuk është ndërtuar të qëndrojë por të lundrojë në dallgët e jetës !
Kështu dhe mendimi; mendimi duhet të lundrojë kudo për të qenë një mendim i aftë, jo të qëndrojë i lidhur diku si një skllav! 
Sot kemi shumë njerëz të tillë të cilët gënjejnë veten se kanë një mendje që mendon, duke të treguar varkën e tij por jo mendimin e tij ! 

Friday, May 15, 2020

Më tha

Më tha : 

- Në botëkuptimin tuaj sinonimik dhe ekonomik të përzier me vizione egoiste ndaj masës të cilën e ushqen me pikatore helmi në mjalt është gjetur në flagrancë një djall me fytyrë njeriu i cili të frymëzon drejt realizimit të një dashurie ndaj teje në mënyrë skllavëruese me dëshirë dhe vullnet të plotë ! 🙄🤔😮😎

Cila është përgjigja që duhet të kthej !? 🤔🙄😎😮😬☻

Thursday, May 14, 2020

STUDIMI I MATEMATIKËS DHE ARSYETIMI I SHËNDOSHË

Studim për mendjet e kalitura dhe sytë e fortë.
Ndalohet për mendjet e ngurta dhe përtacët.

STUDIMI  I  MATEMATIKËS DHE ARSYETIMI I SHËNDOSHË

Në  lidhje  me  çdo  formë  të  veprimtarisë  njerëzore  është  e nevojshme  që  pyetja  të  parashtrohet  herë  pas  here : Cili  është qëllimi  dhe  ideali  i  tij?  Në  çfarë  mënyre  kontribuon  në bukurinë  e  ekzistencës  njerëzore?  Sa  i  përket  respektimit  të atyre  ndjekjeve  që  kontribuojnë  vetëm  nga  distanca,  duke siguruar  mekanizmin  e  jetës,  është  mirë  të  kujtohet  se  nuk duhet  të  dëshirohet  vetëm  fakti  i  të  jetuarit,  por  arti  i  të jetuarit  në  soditje  të  gjërave  të  mëdha.  Akoma  më  shumë  në lidhje  me  ato  avokime  që  nuk  kanë  fund  jashtë  vetvetes,  të cilat  do  të  justifikohen,  nëse  aspak,  siç  shtohet  në  të  vërtetë shuma  e  pasurive  të  përhershme  në  botë,  është  e  nevojshme  të mbani  gjallë  një  njohuri  për  qëllimet  e  tyre,  një  vizion të qartë  parafytyrues  i  tempullit  në  të  cilin  do  të  mishërohet imagjinata  krijuese. Përmbushja  e  kësaj  nevoje,  në  atë  që  ka  të  bëjë  me  studimet  që formojnë  materialin  mbi  të  cilin  zakon  ka  vendosur  të  stërvisë mendjen  rinore,  është  me  të  vërtetë  i  trishtuar  -  aq  i  largët sa  të  bëjë  që  deklarata  e  thjeshtë  e  një  kërkese  të  tillë  të duket  e  padurueshme.  Njerëz  të  mëdhenj,  plotësisht  të  gjallë  për bukurinë  e  soditjeve,  në  shërbim  të  të  cilëve  u  kushtohet  jeta e  tyre,  duke  dëshiruar  që  të  tjerët  të  mund  të  ndajnë  në gëzimet  e  tyre,  bindën  njerëzimin  që  të  transmetojë  për  brezat pasardhës  njohuritë  mekanike,  pa  të  cilat  është  e  pamundur  të kalosh  pragun.  Pedantët  e  thatë  e  kanë vendosur veten  në  privilegjin  e nxitjes  së  kësaj  njohjeje:  ata  harrojnë  se  është  për  të shërbyer,  por  si  çelës  për  të  hapur  dyert  e  tempullit; megjithëse  ata  e  kalojnë  jetën  e  tyre  në  hapat  që  çojnë  deri  në ato  dyert  e  shenjta,  ata  i  kthejnë  shpinën  tempullit  aq  shumë me  vendosmëri  sa  që  vetë  ekzistenca  e  tij  harrohet,  dhe  rinia  e etur,  e  cila  do  të  shtynte  përpara  për  të  filluar  në  kupolat dhe  harqet  e  saj,  është  i  ndaluar  të  kthehet  mbrapa  dhe  të numërojë  hapat. Matematika,  mbase  edhe  më  shumë  sesa  studimi  i  Greqisë  dhe Romës,  ka  vuajtur  nga  kjo  harresë  e  vendit  të  saj  të  duhur  në civilizim.  Megjithëse  tradita  ka  dekretuar  që  pjesa  më  e  madhe e  njerëzve  të  arsimuar  do  të  njohin  të  paktën  elementët  e lëndës,  arsyet  për  të  cilat  lindi  tradita  janë  harruar,  të varrosura  nën  një  grumbull  të  madh  të  pedantëve  dhe   makinerive,  udhëtimi  nga  një  vend  në  tjetrin  dhe  fitorja  ndaj kombeve  të  huaja,  qoftë  në  luftë  apo  tregti.  Nëse  kundërshtohet që  këto  mbarime  -  të  gjitha  kanë  vlerë  të  dyshimtë  -  nuk  do  të vijojnë  më  tej  nga  studimi  thjesht  fillor  i  imponuar  atyre  që nuk  bëhen  matematikanë  ekspertë,  përgjigja,  është  e  vërtetë,  me siguri  do  të  jetë  që  matematika  trajnon  arsyetimin e fakulteteve.  Megjithatë,  shumë  njerëz  që  e japin  këtë  përgjigje, në  pjesën  më  të  madhe  nuk  janë  të  gatshëm  të  braktisin  mësimin e  gabimeve  të  caktuara,  të  cilat  njihen  si  të  tilla,  dhe instinktivisht  të  refuzuara  nga  mendja  e  pakënaqur  e  çdo  nxënësi inteligjent.  Dhe  vetë  fakulteti  i  arsyetimit  konceptohet përgjithësisht,  nga  ata  që  kërkojnë  kultivimin  e  tij,  si thjesht  një  mjet  për  shmangien  e  kurtheve  dhe  një  ndihmë  në zbulimin  e  rregullave  për  udhëheqjen  e  jetës  praktike.  Të gjitha  këto  janë  arritje  të  pamohueshme e të  rëndësishme  për kredinë  e  matematikës;  megjithatë  nuk  është  asnjë  nga  këto  që  i jep  të  drejtën  matematikës  një  vend  në  çdo  arsimim liberal. Platoni,  ne  e  dimë,  e  konsideroi  soditjen  e  të  vërtetave matematikore  si  të  denjë  për  Hyjninë;  dhe  Platoni  kuptoi,  më shumë  se  çdo  njeri  i  vetëm,  cilat  janë  ato  elemente  në  jetën  e njeriut  që  meritojnë  një  vend  në  parajsën e dijes.  Ekziston  në matematikë,  thotë  ai,  "diçka  që  është  e  domosdoshme_  dhe  nuk mund  të  lihet  mënjanë  ...  dhe,  nëse  nuk  gaboj,  e domosdoshmërisë  hyjnore;  sepse  për  sa  i  përket  nevojave njerëzore  për  të  cilat  flasin  shumë  në  këtë  lidhje,  asgjë  nuk mund  të  jetë  më  qesharake  sesa  një  zbatim  i  tillë  i  fjalëve. 

_Cleinias._  Dhe  cilat  janë  këto  domosdoshmëri  të  dijes, Stranger,  të  cilat  janë  hyjnore  dhe  jo  njerëzore?  
_Athenian._ Ato  gjëra  pa  ndonjë  përdorim  ose  njohuri  për  të  cilat  një  njeri nuk  mund  të  bëhet  Zot  i  botës,  as  shpirt,  as  akoma  një  hero,  dhe as  në  gjendje  të  mendojë  me  zell  për  njeriun  "(_Laws_,  f.  818).  

I  tillë  ishte  gjykimi  i  Platonit  për  matematikën;  por matematikanët  nuk  e  lexojnë  Platonin,  ndërsa  ata  që  e  lexojnë nuk  dinë  asnjë  matematikë,  dhe  e  konsiderojnë  mendimin  e  tij mbi  këtë  pyetje  si  thjesht  një  shmangie  kurioze. Matematika,  e  shikuar  me  të  drejtë,  posedon  jo  vetëm  të vërteta,  por  një  bukuri  supreme  -  një  bukuri  të  ftohtë  dhe  të ashpër,  si  ajo  e  skulpturës,  pa  apel  për  ndonjë  pjesë  të natyrës  sonë  më  të  dobët,  pa  gjurmët  e  mrekullueshme  të pikturës  ose  muzikës,  por  me  sublimim  të  pastër,  dhe  i  aftë  për një  përsosmëri  të  ashpër  siç  është  vetëm  arti  më  i  madh  që  mund të  tregojë.  Fryma  e  vërtetë  e  kënaqësisë,  ekzaltimi,  ndjenja  e të  qenurit  më  shumë  se  njeriu,  që  është  gur  themeli  i përsosmërisë  më  të  lartë,  duhet  të  gjendet  në  matematikë  po  aq sigurisht  sa  në  poezi.  Ajo  që  është  më  e  mira  në  matematikë  nuk meriton  thjesht  të  mësohet  si  detyrë,  por  të  asimilohet  si pjesë  e  mendimit  të  përditshëm,  dhe  të  sillet  përsëri  dhe përsëri  para  mendjes  me  një  nxitje  të  përtërirë  .  Jeta  reale është,  për  shumicën  e  njerëzve,  një  e  dytë  më  e  mirë se tjetra ,  një kompromis  i  përhershëm  midis  idealit  dhe  të  mundshmes;  por  bota e  arsyes  së  pastër  nuk  njeh  asnjë  kompromis,  asnjë  kufizim praktik,  as  ndonjë  pengesë  për  veprimtarinë  krijuese  që mishëron  në  ndërtime  të  shkëlqyeshme  aspiratën  pasionante  pas perfektës  nga  e  cila  burojnë  të  gjitha  punët  e  shkëlqyera.  Të larguar  nga  pasionet  njerëzore,  të  largëta  edhe  nga  faktet  e bukura  të  natyrës,  brezat  gradualisht  kanë  krijuar  një planet  të  porositur,  ku  mendimi  i  pastër  mund  të  banojë  si  në
shtëpinë  e  tij  natyrore,  dhe  ku  një,  të  paktën,  nga  impulset tona  më  fisnike  mund  të  shpëtojë  nga  zjarri  mërgimi  i  botës aktuale. Megjithatë,  kaq  pak,  ka matematikanë  që  synojnë  bukurinë,  sa që  asgjë  në  punën  e  tyre  nuk  e  ka  pasur  këtë  qëllim  të vetëdijshëm.  Shumë,  për  shkak  të instinkteve të papërmbajtshme,  të  cilat  ishin  më  të  mira  se besimet  e  mbara,  janë  formuar  nga  një  shije  e  pavetëdijshme; por  gjithashtu  shumë  janë  prishur  nga  nocionet  e  rreme  të  asaj që  ishte  e  përshtatshme.  Përsosmëria  karakteristike  e matematikës  është  vetëm  kur  arsyetimi  është  i  logjikshëm: rregullat  e  logjikës  janë  për  matematikën,  ato  që  janë  të strukturës janë për  arkitekturën.  Në  veprën  më  të  bukur,  paraqitet një  zinxhir  argumenti  në  të  cilin  çdo  lidhje  është  e rëndësishme  në  llogarinë  e  vet,  në  të  cilën  ka  një  ajër lehtësie  dhe  kthjelltësie  në  të  gjitha,  dhe  ambientet  arrijnë më  shumë  sesa  do  të  mendohej ,  me  anë  të  të  cilave duken  të  natyrshme  dhe  të  pashmangshme.  Literatura  mishëron  atë që  është  e  përgjithshme  në  rrethana  të  veçanta,  rëndësia universale  e  së  cilës  shkëlqen  përmes  veshjes  së  tyre individuale;  por  matematika  përpiqet  të  paraqesë  gjithçka  që është  më  e  përgjithshme  në  pastërtinë  e  saj,  pa  ndonjë  gjurmë të  parëndësishme. 

Si  duhet  të  bëhet  mësimi  i  matematikës  në  mënyrë  që  të komunikojë  me  nxënësin  sa  më  shumë  që  të  jetë  e  mundur  për  këtë ideal  të  lartë?  Këtu  përvoja  duhet,  në  një  masë  të  madhe,  të jetë  udhëzuesi  ynë;  por  disa  maksima  mund  të  rezultojnë  nga marrja  parasysh  e  qëllimit  përfundimtar  që  duhet  të  arrihet. Një  nga  qëllimet  kryesore  të  shërbyera  nga  matematika,  kur mësohet  me  të  drejtë,  është  të  zgjojë  besimin  e  nxënësit  për arsyen,  besimin  e  tij  në  të  vërtetën  e  asaj  që  është demonstruar  dhe  në  vlerën  e  demonstrimit.  Ky  qëllim  nuk shërbehet  nga  udhëzimet  ekzistuese;  por  është  e  lehtë  të  shihen mënyra  me  të  cilat  mund  të  shërbehet.  Aktualisht,  në  atë  që  ka të  bëjë  me  aritmetikën,  djalit  ose  vajzës  i  jepen  një  sërë rregullash,  të  cilat  e  paraqesin  veten  as  të  vërtetë  dhe  as  të rreme,  por  thjesht si vullnet  të  mësuesit,  mënyrën  në  të  cilën, për  ndonjë  arsye  të  padurueshme,  mësuesi  preferon  për  të luajtur  ndeshjen.  Në  një  farë  mase,  në  një  studim  të  një shoqërie  praktike  të  tillë  të  caktuar,  kjo  pa  dyshim  që  është  e pashmangshme;  por  sa  më  shpejt  që  të  jetë  e  mundur,  arsyet  e rregullave  duhet  të  përcaktohen  me  çfarëdo  mjeti  që  tërheqin  më lehtë  në  mendjen  fëminore.  Në  gjeometri,  në  vend  të  aparatit  të lodhshëm  të  provave  të  pasakta  për  truizmat  e  dukshme  që përbëjnë  fillimin  e  Euklidit,  nxënësit  duhet  të  lejohen  që  në fillim  të  marrin  të  vërtetën  e  gjithçkaje  të  dukshme,  dhe  duhet të  udhëzohen  në  demonstrimet  e  teoremave  që  janë  në  të  njëjtën kohë  befasuese  dhe  lehtësisht  e  verifikueshme  nga  vizatimi aktual,  siç  janë  ato  në  të  cilat  tregohet  se  tre  ose  më  shumë rreshta  takohen  në  një  pikë.  Në  këtë  mënyrë  gjenerohet  besimi; shihet  se  arsyetimi  mund  të  çojë  në  përfundime  befasuese,  të cilat  megjithatë  faktet  do  ta  verifikojnë;  dhe  në  këtë  mënyrë, gradualisht  tejkalohet  mosbesimi  instinktiv  ndaj  çdo  gjëje abstrakte  ose  racionale.  Kur  teoremat  janë  të  vështira,  ato duhet  së  pari  të  mësohen  si  ushtrime  në  vizatimin  gjeometrik, derisa  figura  të  jetë  bërë  plotësisht  e  njohur;  atëherë  do  të jetë  një  përparim  i  këndshëm  për  t'u  mësuar  lidhjet  logjike  të linjave  ose  qarqeve  të  ndryshme  që  ndodhin.  Është  e  dëshirueshme gjithashtu  që  figura  që  ilustron  një  teoremë  duhet  të  jetë  e vizatuar  në  të  gjitha  rastet  dhe  format  e  mundshme,  në  mënyrë që  marrëdhëniet  abstrakte  me  të  cilat  gjeometria  të  ketë  të bëjë  vetë  mund  të  shfaqen  si  mbetje  e  ngjashmërisë  mes  një larmie  kaq  të  dukshme.  Në  këtë  mënyrë  demonstrimet  abstrakte duhet  të  formojnë,  por  një  pjesë  e  vogël  e  udhëzimit,  dhe  duhet të  jepen  kur,  nga  familjariteti  me  ilustrime  konkrete,  ato  janë kuptuar  si  mishërim  natyror  i  faktit  të  dukshëm.  Në  këtë  fazë të  hershme  provat  nuk  duhet  të  jenë dhënë  me  plotësi  pedantike;  padyshim  që  metodat  e  gabuara,  siç është  ajo  e  superpozicionit,  duhet  të  përjashtohen  në  mënyrë rigoroze  nga  e  para,  por  ku,  pa  metoda  të  tilla,  prova  do  të ishte  shumë  e  vështirë,  rezultati  duhet  të  jepet  i  pranueshëm nga  argumente  dhe  ilustrime  të  cilat  shprehen  qartë  në kontrast  me  demonstrimet. Në  fillim  të  algjebrës,  edhe  fëmija  më  inteligjent  gjen,  si rregull,  vështirësi  shumë  të  mëdha.  Përdorimi  i  shkronjave është  një  mister,  i  cili  duket  se  nuk  ka  qëllim  përveç mistifikimit.  Është  pothuajse  e  pamundur,  në  fillim,  të mos  mendosh  që  çdo  shkronjë  nënkupton  ndonjë  numër  të  veçantë, nëse  vetëm  mësuesi  do  të  zbulonte  _  çfarë  numri_  është  ai. Fakti  është  që  në  algjebër  mendja  së  pari  mësohet  të  marrë  në konsideratë  të  vërtetat  e  përgjithshme,  të  vërtetat  për  të cilat  nuk  pretendohet  se  mbajnë  vetëm  këtë  apo  atë  gjë  të veçantë,  por  për  cilindo  prej  një  grupi  të  tërë  gjërash.  

Është në  fuqinë  e  të  kuptuarit  dhe  zbulimit  të  të  vërtetave  të  tilla që  zotërimi  i  intelektit  mbi  tërë  botën  e  gjërave  aktuale  dhe  të mundshme;  dhe  aftësia  për  t'u  marrë  me  gjeneralin si  i  tillë  është  një  nga  dhuratat  që  duhet  të  dhurojë  një  arsim matematikor.  Por,  sa pak,  si  rregull,  mësuesi  i  algjebres është  në  gjendje  të  shpjegojë  shkallën  që  e  ndan  atë  nga aritmetika,  dhe  sa  pak  është  ndihmuar  nxënësi  në  përpjekjet  e tij  për  të  kuptuar!  Zakonisht,  metoda  që  është  miratuar  në aritmetikë  vazhdon:  përcaktohen  rregulla,  pa  ndonjë  shpjegim adekuat  të  bazave  të  tyre;  nxënësi  mëson  të  përdorë  rregullat në  mënyrë  të  verbër,  dhe  aktualisht,  kur  ai  është  në  gjendje  të marrë  përgjigjen  që  dëshiron  mësuesi,  ai  ndjen  se  ai  ka zotëruar  vështirësitë  e  lëndës.  Por  për  të  kuptuarin  e brendshëm  të  proceseve  të  përdorura  ai  ndoshta  nuk  ka  fituar pothuajse  asgjë. Kur  është  mësuar mirë algjebra,  gjithçka  shkon  pa  probleme  derisa  të arrijmë  në  ato  studime  në  të  cilat  është  përdorur  nocioni  i pafundësisë  -  llogaritja  infinitum dhe  tërësia  e  matematikës më  të  lartë.  Zgjidhja  e  vështirësive  që  më  parë  rrethuan pafundësinë  matematikore  është  ndoshta  arritja  më  e  madhe  për të  cilën  epoka  jonë  duhet  të  mburret.  Që  nga  fillimet  e mendimit  Grek,  këto  vështirësi  janë  njohur;  në  çdo  epokë intelektualët  më  të  mirë  janë  përpjekur  kot  t'i  përgjigjen pyetjeve  në  dukje  të  pasigurta  që  ishin  bërë  nga  Zeno  the Eleatic.  Më  në  fund  Georg  Cantor  ka  gjetur  përgjigjen  dhe  ka pushtuar  me intelekt  një  provincë  të  re  dhe  të  gjerë,  e  cila  i ishte  dorëzuar  Kaosit  dhe  Errësirës së  Vjetër.  Është  supozuar  si e  vetëkuptueshme,  derisa  Cantor  dhe  Dedekind  vendosën  të kundërtën,  se  nëse,  nga  ndonjë  koleksion  i  gjërave,  disa  ishin hequr,  numri  i  gjërave  të  mbetura  duhet  të  jetë  gjithnjë  më  i vogël  se  numri  origjinal  i  gjërave.  Ky  supozim,  në  të  vërtetë,  ka  vetëm  koleksione  të  fundme;  dhe  refuzimi  i  tij,  ku  bëhet fjalë  për  pafundësinë,  është  treguar  për  të  hequr  të  gjitha vështirësitë  që  deri  më  tani  kishin  shqetësuar  arsyen  njerëzore në  këtë  çështje,  dhe  për  të  bërë  të  mundur  krijimin  e  një shkence  të  saktë  të  pafundme.  Ky  fakt  tronditës  duhet  të prodhojë  një  revolucion  në  mësimin  më  të  lartë  të  matematikës; ajo  vetë  ka  shtuar  pa  masë  vlerën  arsimore  të  lëndës,  dhe  më  në fund  i  ka  dhënë  mjetet  e  trajtimit  me  përpikmëri  logjike  shumë studime  të  cilat,  deri  vonë,  ishin  mbështjellë  në  gabime  dhe errësirë.  Nga  ata  që  ishin  arsimuar  në  linjat  e  vjetra,  vepra  e re  konsiderohet  të  jetë  jashtëzakonisht  e  vështirë,  absurde  dhe  e  errët;  dhe  ajo  duhet  të  rrëfehet  si  zbulues,  siç  ndodh  shpesh,  vështirë  se  vetë  ka  dalë  nga mjegullat,  të  cilat  drita  e  intelektit  të  tij  po  shpërndahet. Por  në  mënyrë  të  natyrshme,  doktrina  e  re  e  pafund,  për  të gjithë  mendjet  e  sinqerta dhe  kërkuese,  ka  lehtësuar  mjeshtërinë e  matematikës  më  të  lartë;  deri  më  tani,  ka  qenë  e  nevojshme  të mësohet,  me  anë  të  një  procesi  të  gjatë  sofistikimi,  për  të dhënë  pëlqimin  e  argumenteve  të  cilat,  me  njohjen  e  parë,  me  të drejtë  u  gjykuan  të  ngatërruara  dhe  të  gabuara.  Deri  më  tani nga  prodhimi  i  një  besimi  të  patrembur  për  arsyen,  një  refuzim i  guximshëm  i  çdo  gjëje  që  nuk  arriti  të  përmbushë  kërkesat  më të  rrepta  të  logjikës,  një  trajnim  matematikor,  gjatë  dy shekujve  të  fundit,  inkurajoi  besimin  se  shumë  gjëra,  të  cilat një  hetim  i  ngurtë  do  t’i  hidhte  poshtë  si  të  gabueshëm, prapëseprapë  duhet  të  pranohen  sepse  ata  punojnë  në  atë  që një matematikan  e  quan  "praktikë".  Me  këtë  mjet,  një  frymë  e ndrojtur,  kompromentuese,  ose  thënë  ndryshe  një  besim  sakrrotik në  mistere  jo  të  kuptueshme  nga  profanja,  është  edukuar  aty  ku vetëm  arsyeja  duhet  të  kishte  sunduar.  E  gjithë  kjo  tani  është koha  për  të  fshirë;  le  që  ata  që  dëshirojnë  të  depërtojnë  në harkun  e  matematikës,  të  mësohen  menjëherë me  teorinë  e  vërtetë  në të  gjithë  pastërtinë  e  tij  logjike,  dhe  në  bashkimin  e themeluar  nga  vetë  thelbi  i  subjekteve  në  fjalë. Nëse  po  vlerësojmë  matematikën  si  një  qëllim  në  vetvete,  dhe  jo si  një  trajnim  teknik  për  inxhinierët,  është  shumë  e dëshirueshme  të  ruhet  pastërtia  dhe  rreptësia  e  arsyetimit  të saj.  Në  përputhje  me  rrethanat,  ata  që  kanë  arritur  një  njohuri të  mjaftueshme  me  pjesët  e  saj  më  të  lehta,  duhet  të  drejtohen prapa  nga  propozimet  për  të  cilat  ata  kanë  akorduar  si të  vetëkuptueshme  për  gjithnjë  e  më  shumë  parime  thelbësore  nga të  cilat  mund  të  nxirret  ajo  që  më  parë  u  shfaq  si  premisa.  Ata duhet  të  mësohen  -  atë  që  ilustron  me  lehtësi  teoria  e pafundësisë  -  që  shumë  propozime  duken  të  vetëkuptueshme  për mendjen  e  pa  trajnuar,  e  cila,  megjithatë,  një  kontroll  më  i afërt  tregon  se  është  i  rremë.  Me  këtë  mjet  ata  do  të  çohen  në një  hetim  skeptik  ndaj  parimeve  të  para,  një  ekzaminim  të themeleve  mbi  të  cilin  është  ndërtuar  e  gjithë  ngrehina  e arsyetimit,  ose,  për  të  marrë  ndoshta  një  metaforë  më  të përshtatshme,  bagazhin  e  madh  nga  i  cili  burojnë  degët përhapëse.  Në  këtë  fazë,  është  mirë  të  studiojmë  përsëri  pjesët elementare  të  matematikës,  duke  mos  pyetur  më  thjesht  nëse  një propozim  i  dhënë  është  i  vërtetë,  por  edhe  se  si  rritet  nga parimet  kryesore  të  logjikës.  Pyetjeve  të  kësaj  natyre  tani mund  të  përgjigjen  me  një  saktësi  dhe  siguri  të  cilat  ishin  më parë  të  pamundura;  dhe  në  zinxhirët  e  arsyetimit  që  përgjigja kërkon  unitetin  e  të  gjitha  studimeve  matematikore  më  në  fund shpaloset  vetë.
Në  shumicën  e  rasteve   të  librave  shkollorë  matematika  ka  një mungesë  totale  të  unitetit  në  metodë  dhe  zhvillim  sistematik  të një  teme  qendrore.  Propozimet  e  llojeve  shumë  të  ndryshme vërtetohen  me  çfarëdo  mjeti  që  mendohet  më  lehtë  e  kuptueshme, dhe  shumë  hapësirë    i  kushtohet  kurioziteteve  të  thjeshta  të cilat  në  asnjë  mënyrë  nuk  kontribuojnë  në  argumentin  kryesor. Por  në  veprat  më  të  mëdha,  uniteti  dhe  pashmangshmëria  ndjehen si  në  shpalosjen  e  një  drame;  në  premisë  një  temë  propozohet për  shqyrtim,  dhe  në  çdo  hap  pasues  bëhet  një  përparim  i caktuar  drejt  mjeshtërisë  së  natyrës  së  saj.  Dashuria  e sistemit,  e  ndërlidhjes,  që  është  ndoshta  thelbi  kryesor  i impulsit  intelektual,  mund  të  gjejë  një lojë  të  lirë  në  matematikë si  askund  tjetër.  Nxënësi  që  e  ndjen  këtë  impuls  nuk  duhet  të zmbrapset  nga  një  mori  shembujsh  të  pakuptimtë  ose  të  hutuara nga  çudira zbavitëse,  por  duhet  të  inkurajohen  të  merren  me  parimet qendrore,  të  njihen  me  strukturën  e  lëndëve  të  ndryshme  që janë  parashtruar  para  tij,  për  të  udhëtuar  me  lehtësi  nëpër hapat  e  zbritjeve  më  të  rëndësishme.  Në  këtë  mënyrë kultivohet  një  ton  i  mirë  i  mendjes  dhe  vëmendja  selektive mësohet  të  merret  me  përparësi  mbi  atë  që  është  me  peshë  dhe thelbësore. Kur  studimet  e  ndara  në  të  cilat  ndahet  matematika,  secili është  parë  si  një  e  tërë  logjike,  si  një  rritje  natyrore  nga propozimet  që  përbëjnë  parimet  e  tyre,  nxënësi  do  të  jetë  në gjendje  të  kuptojë  shkencën  themelore  që  unifikon  dhe sistematizon  tërësinë  e  arsyetimit  deduktiv.  Kjo  është  logjikë simbolike  -  një  studim  i  cili,  megjithëse  i  detyrohet  fillimit të  tij  Aristotelit,  megjithatë,  në  zhvillimet  e  tij  më  të gjera,  është  një  produkt,  pothuajse  tërësisht,  i  shekullit  XIX, dhe  është  me  të  vërtetë,  në  ditët  e  sotme,  akoma  në  rritje  me të  madhe  shpejtësia e saj.  Metoda  e  vërtetë  e  zbulimit  në  logjikën simbolike,  dhe  ndoshta  edhe  metoda  më  e  mirë  për  prezantimin  e studimit  te  një  nxënës  i  njohur  me  pjesë  të  tjera  të matematikës,  është  analiza  e  shembujve  aktualë  të  arsyetimit deduktiv,  me  synimin  për  zbulimin  e  parimeve  të  përdorura.  Këto parime,  për  pjesën  më  të  madhe,  janë  ngulitur  aq  shumë  në instinktet  tona  relacionale,  saqë  janë  të  punësuara mjaft  pa vetëdije  dhe  mund  të  tërhiqen  në  dritë  vetëm  me  shumë  përpjekje të  pacientit.  Por  kur  më  në  fund  u  gjetën,  ata  janë  parë  të jenë  të  paktë  në  numër  dhe  të  jenë  burimi  i  vetëm  i  gjithçkaje në  matematikën  e  pastër.  Zbulimi  që  e  gjithë  matematika  pason në  mënyrë  të  pashmangshme  nga  një  koleksion  i  vogël  i  ligjeve themelore  është  ai  që  rrit  pa  masë  bukurinë  intelektuale  të të tërës;  për  ata  që  janë  shtypur  nga  natyra  fragmentare  dhe  e paplotë  e  shumicës  së  zinxhirëve  ekzistues  të  zbritjes,  ky zbulim  vjen  me  të  gjithë  forcën  dërrmuese  të  një  zbulese;  si një  pallat  që  del  nga  mjegulla  e  vjeshtës  ndërsa  udhëtari ngjitet  në  një  kodër  të lartë,  katet  hijerëndë  të  ndërtesës matematikore  shfaqen  në  rendin  dhe  proporcionin  e  tyre  të duhur,  me  një  përsosmëri  të  re  në  çdo  pjesë. Derisa  logjika  simbolike  të  kishte  fituar  zhvillimin  e  saj  të tanishëm,  parimet  nga  të  cilat  varet  matematika  gjithnjë  duhej të  ishin  filozofike,  dhe  të  zbulueshme  vetëm  me  metodat  e pasigurta,  jo  progresive  të  përdorura  deri  më  tani  nga filozofët.  Për  sa  kohë  që  u  mendua,  matematika  dukej  se  nuk ishte  autonome,  por  varej  nga  një  studim  i  cili  kishte  metoda krejt  të  tjera  sesa  të  vetat.  Për  më  tepër,  pasi  që  natyra  e postulateve  nga  të  cilat  duhet  të  nxirren me aritmetikën,  analizën dhe  gjeometrinë  ishte  e  mbështjellë  në  të  gjitha  errësirat tradicionale  të  diskutimit  metafizik,  ndërtesa  e  ndërtuar  mbi themele  të  tilla  të  dyshimta  filloi  të  shihej  jo  më  mirë  se  një kështjellë  në  ajër.  Në  këtë  drejtim,  zbulimi  se  parimet  e vërteta  janë  po  aq  pjesë  e  matematikës,  si  çdo  pasojë  e  tyre, ka  rritur  shumë  ndjeshëm  kënaqësinë  intelektuale  që  do  të përftohet.  Kjo  kënaqësi  nuk  duhet  të  refuzohet  për  nxënësit  e aftë  për  ta  shijuar  atë,  sepse  është  e  një  lloji  që të  rrisim respektin  tonë  për  fuqitë  njerëzore  dhe  njohuritë  tona  për bukuritë  që  i  përkasin  botës  abstrakte. 

Filozofët  zakonisht  kanë  thënë  që  ligjet  e  logjikës,  të  cilat nënvizojnë  matematikën,  janë  ligje  të  mendimit,  ligje  që rregullojnë  funksionimin  e  mendjet  tona.
Me  këtë  mendim,  dinjiteti  i  vërtetë  i  arsyes  është ulur  shumë:  ai  pushon  së  qeni  një  hetim  për  vetë  zemrën  dhe thelbin  e  pandryshueshëm  të  të  gjitha  gjërave  aktuale  dhe  të mundshme,  duke  u  bërë,  përkundrazi,  një  hetim  për  diçka  pak  a shumë  njerëzore  dhe  duke  iu  nënshtruar  kufizimeve  tona  . Konsiderimi  i  asaj  që  është  jo-njerëzore,  zbulimi  që  mendjet tona  janë  të  afta  të  merren  me  materiale  që  nuk  janë  krijuar prej  tyre,  mbi  të  gjitha,  realizimi  se  bukuria  i  përket  botës së  jashtme,  për sa  i  përket  brendësisë,  janë  mjeti  kryesor  për  të kapërcyer në mënyrë  të  tmerrshme  ndjenjën  e  dobësisë,  e  mangësisë,  e mërgimit  mes  masave të  fuqive  armiqësore,  e  cila  është  shumë  e prirur  të  rezultojë  nga  pranimi i  të  gjithave,  por jo forcat e plotfuqishmërisë  së  huaj.  Për  tu  pajtuar, me  ekspozitën  e bukurisë  së  saj  të  tmerrshme,  deri  në  mbretërimin  e  Fatit  -  që është  thjesht  personifikim  letrar  i  këtyre  forcave  -  është detyrë  e  tragjedisë.  Por  matematika  na  bën të jemi akoma  më  larg  nga ajo  që  është  njerëzore,  në  rajonin  e  domosdoshmërisë  absolute, së  cilës  jo  vetëm  bota  aktuale,  por  çdo  botë  e  mundshme  duhet të  përputhet;  dhe  madje  edhe  këtu  ai  ndërton  një  banesë,  ose  më saktë  gjen  një  banesë  nën këmbë  përjetësisht,  ku  idealet  tona janë  plotësisht  të  kënaqura  dhe  shpresat  tona  më  të  mira  nuk janë  prishur.  Vetëm  kur  e  kuptojmë  plotësisht  pavarësinë  e vetvetes,  e  cila  i  përket  kësaj  bote  që  gjen  arsye,  ne  mund  të kuptojmë  siç  duhet  rëndësinë  e  thellë  të  bukurisë  së  saj. Jo  vetëm  që  matematika  është  e  pavarur  nga  ne  dhe  mendimet tona,  por  në  një  kuptim  tjetër  ne  dhe  i  gjithë  universi  i gjërave  ekzistuese  jemi  të  pavarur  nga  matematika.  Kapja  e këtij  personazhi  thjesht  ideal  është  i  domosdoshëm,  nëse  do  të kuptojmë  me  të  drejtë  vendin  e  matematikës  si  një  ndër  artet. 

Më  parë  mendohej  se  arsyeja  e  pastër  mund  të  vendoste,  në  disa aspekte,  për  natyrën  e  botës  aktuale:  gjeometria,  të  paktën, mendohej  se  merrej  me  hapësirën  në  të  cilën  jetojmë.  Por  ne tani  e  dimë  se  matematika  e  pastër  nuk  mund  të  përgjigjet  kurrë mbi  pyetjet  e  ekzistencës  aktuale:  bota  e  arsyes,  në  një  farë kuptimi,  kontrollon  botën  e  faktit,  por  nuk  është  në  asnjë moment  krijuese  e  faktit,  dhe  në  zbatimin  e  rezultateve  të  saj për  të  bota  në  kohë  dhe  hapësirë,  siguria  dhe  saktësia  e  saj humbasin  midis  përafrimeve  dhe  hipotezave  të  punës.  Objektet  e konsideruara  nga  matematikanët,  në  të  kaluarën  kanë  qenë kryesisht  të  një  lloji  të  sugjeruar  nga  fenomenet;  por  nga kufizime  të  tilla,  imagjinata  abstrakte  duhet  të  jetë plotësisht  e  lirë.  Kështu  që  duhet  të  jepet  një  liri  reciproke: arsyeja  nuk  mund  t'i  diktojë  botës  së  fakteve,  por as faktet  nuk mund  të  kufizojnë  privilegjin  e  arsyes  për  t'u  marrë  me  çfarëdo objekti,  dashuria  e  saj  për  bukurinë  mund  të  bëjë  që  të  duket  e vlefshme.  Këtu,  si  diku  tjetër,  ne  ndërtojmë  idealet  tona  nga fragmentet  që  do  të  gjenden  në  botë;  dhe  në  fund  është  e vështirë  të  thuhet  nëse  rezultati  është  një  krijim  apo  një zbulim. Është  shumë  e  dëshirueshme,  në  udhëzime,  jo  thjesht  ta  bindim studentin  për  saktësinë  e  teoremave  të  rëndësishme,  por  ta bindësh  atë  në  mënyrën  që  vetë,  nga  të  gjitha  mënyrat  e mundshme,  të  ketë  më  të  bukurën.  Interesi  i  vërtetë  i  një demonstrimi  nuk  është,  siç  sugjerojnë  mënyrat  tradicionale  të ekspozitës,  të  përqendruara  plotësisht  në  rezultat;  aty  ku  kjo ndodh,  ajo  duhet  të  shihet  si  një  defekt,  për  tu  korrigjuar, nëse  është  e  mundur,  duke  gjeneruar  kështu  hapat  e  provës  që secili  bëhet  i  rëndësishëm  në  dhe  për  vete.  Një  argument  i  cili shërben  vetëm  për  të  provuar  një  përfundim  është  si  një  histori në  varësi  të moralit  që  është  menduar  të  mësojë:  për  përsosmërinë  estetike  asnjë  pjesë  e  tërë  nuk  duhet  të jetë  thjesht  një  mjet.  Një  frymë  e  caktuar  praktike,  një dëshirë  për  përparim  të  shpejtë,  për  pushtimin  e  sferave  të reja,  është  përgjegjës  për  theksimin  e  padrejtë  mbi  rezultatet që  mbizotërojnë  në  udhëzimet  matematikore.  Mënyra  më  e  mirë është  të  propozoni  disa  tema  për  shqyrtim  -  në  gjeometri,  një figurë  që  ka  veti  të  rëndësishme;  në  analizë,  një  funksion  i  të cilit  studimi  po  ndriçon,  etj.  Kurdoherë  që  provat  varen  nga vetëm  disa  nga  shenjat  me  të  cilat  përcaktojmë  objektin  që  do të  studiohet,  këto  shenja  duhet  të  izolohen  dhe  hetohen  në llogarinë  e  tyre.  Sepse  është  një  defekt, që  në  një  argument,  të përdorësh  më  shumë  premisa  sesa  përfundimi  kërkon:  ajo  që matematikanët  e  quajnë  hijeshi  rezulton  nga  përdorimi  i  vetëm i parimeve  thelbësore  në  sajë  të  të  cilave  teza  është  e  vërtetë. Është  një  meritë  e  Euklidit  që  ai  përparon  aq  sa  është  në gjendje  të  shkojë  pa  shfrytëzuar  aksiomën  e  paraleleve  -  jo, siç  thuhet  shpesh,  sepse  kjo aksiomë  është  në  thelb  i kundërshtueshëm,  por  sepse,  në  matematikë,  çdo  aksiomë  e  re zvogëlohet  nga përgjithësia  e  teoremave  që  rezultojnë  dhe gjeneraliteti  më  i  madh  i  mundshëm  është  para  se  të  kërkohen  të gjitha  gjërat. Nga  efektet  e  matematikës  jashtë  sferës  së  vet  më  shumë  është shkruar  sesa  në  temën  e  idealit  të  vet  të  duhur.  

Efekti  mbi filozofinë  ka  qenë,  në  të  kaluarën,  më  i  dukshëm,  por  më  i larmishmi;  në  shekullin  e  shtatëmbëdhjetë,  idealizmi  dhe racionalizmi,  në  tetëmbëdhjetë,  materializmi  dhe sensacionalizmi,  dukeshin  njëlloj për pasardhësit  e  tij.  Për efektin  që  ka  të  ngjarë  të  ketë  në  të  ardhmen  do  të  ishte  shumë e  nxituar  të  thuash  shumë;  por  në  një  aspekt  një  rezultat  i mirë  duket  i  mundshëm.  Kundër  këtij  lloji  të  skepticizmit  që braktis  ndjekjen  e  idealeve  sepse  rruga  është  e  vështirë  dhe qëllimi  jo  sigurisht  i  arritshëm,  matematika,  brenda  sferës  së vet,  është  një  përgjigje  e  plotë.  Shumë  shpesh  thuhet  se  nuk  ka asnjë  të  vërtetë  absolute,  por  vetëm  mendim  dhe  gjykim  privat; që  secili  prej  nesh  është  i  kushtëzuar,  sipas  pikëpamjes  së  tij për  botën,  nga  veçoritë  e  tij,  shija  dhe  paragjykimi  i  tij;  se nuk  ka  asnjë  mbretëri  të  jashtme  të  së  vërtetës,  së  cilës,  me durim  dhe  disiplinë,  mund  të  marrim  më  në  fund  pranimin,  por vetëm  të  vërtetën  për  mua,  për  ju,  për  çdo  person  të  veçantë. Me  këtë  zakon  të  mendjes,  një  nga  skajet  kryesore  të përpjekjeve  njerëzore  mohohet,  dhe  virtyti  suprem  i  dhuratës,  i njohjes  së  patrembur  të  asaj  që  është,  zhduket  nga  vizioni  ynë moral.  Për  një  skepticizëm  të  tillë  matematika  është  një  qortim i  përhershëm;  sepse  ndërtimi  i  të  vërtetave  qëndron  i palëkundshëm  dhe  i  padobishëm  për  të  gjitha  armët  e  cinizmit  të dyshimtë. Efektet  e  matematikës  në  jetën  praktike,  megjithëse  ato  nuk duhet  të  konsiderohen  si  motivi  i  studimeve  tona,  mund  të përdoren  për  t'iu  përgjigjur  një  dyshimi,  ndaj  të  cilit studenti  i  vetmuar  duhet  të  jetë  gjithnjë  përgjegjës.  Në  një botë  kaq  të  mbushur  me  të  këqija  dhe  vuajtje,  pensioni  në grilën  e  soditjes,  deri  në  shijimin  e  kënaqësive  të  cilat,  sado fisnike,  duhet  të  jenë  gjithnjë  për  të  paktët,  nuk  mund  të shfaqen  si  një  refuzim  disi  egoist  për  të  ndarë  barrën  që  u është  imponuar  të  tjerëve  nga  aksidentet  në  të  cilat  drejtësia nuk  luan  asnjë  rol.  Kemi  të  drejtën  e  ndonjërit  prej  nesh,  të kërkojmë,  të  tërhiqemi  nga  të  këqijat  e  tanishme,  të  lëmë bashkëqytarët  tanë  të  pajetë,  ndërsa  ne  jetojmë  një  jetë  e cila,  megjithëse  e  vështirë  dhe  e  ashpër,  është  akoma  e  mirë  në natyrën  e  vet?  Kur  lindin  këto  pyetje,  përgjigja  e  vërtetë është,  pa  dyshim,  që  disa  duhet  ta  mbajnë  gjallë  zjarrin  e shenjtë,  disa  duhet  të  ruajnë,  në  çdo  brez,  vizionin  e përhumbur,  i  cili  hijezon  qëllimin  e  kaq  shumë  përpjekjesh.  Por kur,  siç  duhet  të  ndodhë  nganjëherë,  kjo  përgjigje  duket  tepër  e ftohtë,  kur  jemi  pothuajse  të  çmendur  nga  spektakli  i pikëllimeve,  të  cilave  ne  nuk  sjellim  asnjë  ndihmë,  atëherë mund  të  reflektojmë  se  indirekt  matematikani  shpesh  bën  më  shumë për  lumturinë  njerëzore  sesa  ndonjë  nga  bashkëkohësit  e  tij  më aktivë.  Historia  e  shkencës  vërteton  me  bollëk  se  një  organ  i propozimeve  abstrakte  -  edhe  nëse,  si  në  rastin  e  seksioneve konike,  mbetet  dy  mijë  vjet  pa  efekt  mbi  jetën  e  përditshme  ende,  në  çdo  moment,  mund  të  përdoret  për  të  shkaktuar  një revolucion  në  mendimet  e  zakonshme  dhe  profesionet  e  çdo qytetari.  Përdorimi  i  avullit  dhe  energjisë  elektrike  -  për  të marrë  raste  marramendëse  -  bëhet  i  mundur  vetëm  nga  matematika. Në  rezultatet  e  mendimit  abstrakt,  bota  posedon  një  kapital  të cilit  punësimi  në  pasurimin  e  duelit të  përbashkët  nuk  ka kufij  deri  tani  të  zbulueshëm.  As  përvoja  nuk  jep  ndonjë  mjet për  të  vendosur  se  cilat  pjesë  të  matematikës  do  të  gjenden  të dobishme.  Prandaj,  shërbimi  mund  të  jetë  vetëm  një  ngushëllim në  momentet  e  dekurajimit,  dhe  jo  një  udhëzues  për  drejtimin  e studimeve  tona. Për  shëndetin  e  jetës  morale,  për  fisnikërimin  e  tonit  të  një epoke  ose  të  një  kombi,  virtytet  kanë  një  fuqi  të çuditshme,  duke  tejkaluar  fuqinë  e  atyre  që  nuk  janë  informuar dhe  pastruar  nga  mendimi.  Nga  këto  virtyte  më  të  dashura, dashuria  për  të  vërtetën  është  kryesori,  dhe  në  matematikë,  më shumë  se  diku  tjetër,  dashuria  për  të  vërtetën  mund  të  gjejë inkurajim  për  zbehjen  e  besimit.  Çdo  studim  i  shkëlqyeshëm  nuk është  vetëm  një  qëllim  në  vetvete,  por  edhe  një  mjet  për  të krijuar  dhe  mbështetur  një  zakon  të  lartë  të  mendjes;  dhe  ky qëllim  duhet  të  mbahet  gjithnjë  në  sy  gjatë  gjithë  mësimit  dhe mësimit  të  matematikës.

#Librikomenti 

#Ndalohet kopjimi 
#Lejohet shpërndarja