Pjesa e katërt dhe e fundit
MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA
Kjo ishte mënyra në të cilën zbuluam se ka aq shumë numra sa ka numra. Çdo numër mund të dyfishohet, dhe çdo numër i barabartë mund të përgjysmohet, dhe secili proces jep vetëm një numër që korrespondon me atë që është dyfishuar ose përgjysmuar. Dhe në këtë mënyrë mund të gjejmë çdo numër koleksionesh secila prej të cilave ka po aq terma sa ka numra të kufizuar. Nëse çdo term i një koleksioni mund të bashkohet në një numër, dhe të gjithë numrat e fundëm të përdoren një herë, dhe vetëm një herë, në proces, atëherë koleksioni ynë duhet të ketë po aq terma sa ka numra të kufizuar. Kjo është metoda e përgjithshme me të cilën përcaktohen numrat e koleksioneve të pafundme. Por nuk duhet të supozohet se të gjithë numrat e pafund janë të barabartë. Përkundrazi, ka pafundësisht më shumë numra pafund sesa ato të fundme. Ka më shumë mënyra për të rregulluar numrat e fundëm në lloje të ndryshme të serive sesa ka numra të kufizuar. Ndoshta ka më shumë pikë në hapësirë dhe më shumë momente në kohë sesa ka numra të kufizuar. Ekzistojnë saktësisht po aq thyesa sa numrat e tërë, megjithëse ekziston një numër i pafundmë thyesash midis dy numrave të tërë. Por ka më shumë numra irracionalë sesa ka numra të tërë ose thyesa. Me siguri ka saktësisht po aq pika në hapësirë sa ka numra irracionalë, dhe saktësisht sa më shumë pika në një vijë në një miliontë e një inç të gjatë sa ka në tërë hapësirën e pafund. Ekziston një më e madhja nga të gjithë numrat e pafund, që është numri i gjërave krejt, i çdo lloji. Është e qartë se nuk mund të ketë një numër më të madh se kjo, sepse, nëse gjithçka është marrë, nuk mbetet asgjë për të shtuar. Cantor ka një dëshmi se nuk ka numër më të madh, dhe nëse kjo provë do të ishte e vlefshme, kontradiktat e pafundësisë do të rishfaqeshin në një formë të sublimuar. Por në këtë pikë, mjeshtri ka qenë fajtor për një gabim shumë delikate, që shpresoj ta shpjegoj herës tjetër. Tani mund ta kuptojmë pse Zeno besonte se Akili nuk mund të kapërcejë breshkën dhe pse në fakt ai mund ta kapërcejë atë. Ne do të shohim që të gjithë njerëzit që nuk ishin dakord me Zeno nuk kishin të drejtë ta bëjnë këtë, sepse të gjithë pranuan ambiente nga të cilat pasuan përfundimin e tij. Argumenti është ky: Le të fillojë Akili dhe breshka të fillojnë përgjatë një rruge në të njëjtën kohë, breshkës i (siç është vetëm e drejtë) lejohet një handikap. Le të shkojë Akili dy herë më shpejt se breshka, ose dhjetë herë ose njëqind herë më shpejt. Atëherë ai kurrë nuk do të arrijë breshkën. Sepse në çdo moment breshka është diku dhe Akili është diku; dhe asnjëra nuk është dy herë në të njëjtin vend ndërsa gara po vazhdon. Kështu breshka shkon në po aq vende sa Akili, sepse secila është në një vend në një moment, dhe në një tjetër në çdo moment tjetër. Por nëse Akili do të merrej me breshkën, vendet ku do të ishte breshka do të ishin vetëm pjesë e vendeve ku Akili do të ishte. Këtu, duhet të supozojmë, Zeno apeloi në maksimum që e tëra ka më shumë terma sesa pjesa. Kështu që nëse Akili do të kapërcejë breshkën, ai do të kishte qenë në më shumë vende sesa breshka; por ne pamë se ai duhet, në çdo periudhë, të jetë në pikërisht në shumë vende si breshka. Prandaj konstatojmë se ai kurrë nuk mund ta kapë breshkën. Ky argument është rreptësisht i saktë, nëse lejojmë aksiomën se e tëra ka më shumë terma sesa pjesa. Si përfundim është absurde, aksioma duhet të refuzohet, dhe pastaj gjithçka shkon mirë. Por nuk ka asnjë fjalë të mirë për t'u thënë për filozofët e dy mijë viteve dhe më shumë, të cilët të gjithë e kanë lejuar aksiomën dhe e kanë mohuar përfundimin. Ruajtja e këtij aksiomi çon në kontradikta absolute, ndërsa refuzimi i saj çon vetëm në çudira. Disa nga këto çuditete,që duhet të rrëfehen, janë shumë të çuditshme. Një prej tyre, që unë e quaj si paradoks i Tristram Shandy, është biseda e Akilit, dhe tregon se breshka, nëse i jepni kohë, do të shkojë aq larg sa Akili. Tristram Shandy, siç e dimë, punoi dy vjet në kronikimin e dy ditëve të para të jetës së tij, dhe u ankua që, me këtë ritëm, materiali të grumbullohej më shpejt nga sa mund të merrej me të, kështu që, me kalimin e viteve, ai do të ishte më larg nga fundi i historisë së tij. Tani unë pohoj se, nëse ai do të kishte jetuar përgjithmonë, dhe të mos e kishte lodhur detyrën e tij, atëherë, edhe sikur jeta e tij të kishte vazhduar si ngjarje plotësisht siç filloi, asnjë pjesë e biografisë së tij nuk do të kishte mbetur e pashkruar. Konsideroni: dita e njëqind do të përshkruhet në vitin e njëqind, e mijta në vitin një mijë, etj. Çfarëdo dite që mund të zgjedhim deri më tani që ai nuk mund të shpresojë ta arrijë atë, ajo ditë do të përshkruhet në vitin përkatës. Kështu që çdo ditë që mund të përmendet do të shkruhet herët a vonë, dhe për këtë arsye asnjë pjesë e biografisë nuk do të mbetet përgjithmonë e pashkruar. Ky propozim paradoksal, por krejtësisht i vërtetë, varet nga fakti se numri i ditëve në të gjitha kohërat nuk është më i madh se numri i viteve. Kështu që në temën e pafundësisë është e pamundur të shmangen përfundime të cilat në pamje të parë duken paradoksale, dhe kjo është arsyeja pse kaq shumë filozofë kanë menduar se ka patur kontradikta të pafundme. Por një praktikë e vogël mundëson që dikush të kuptojë parimet e vërteta të doktrinës së Kantorit dhe të përvetësojë instinkte të reja dhe më të mira sa i përket të vërtetës dhe të rremave. Çuditjet nuk bëhen më të çuditshme se kur njerëzit janë në antipodë, të cilët dikur mendoheshin të pamundura sepse do ta shihnin të papërshtatshëm ti mbanin në kokë. Zgjidhja e problemeve në lidhje me pafundësinë i ka mundësuar Kantorit të zgjidhë edhe problemet e vazhdimësisë. Për këtë, për sa i përket pafundësisë, ai ka dhënë një përkufizim të saktë dhe ka treguar se nuk ka kundërshtime në nocionin e përcaktuar ashtu. Por kjo temë është aq teknike sa është e pamundur të japësh llogari këtu. Nocioni i vazhdimësisë varet nga ai i _order_, pasi vazhdimësia është thjesht një lloj rregulli i veçantë. Në kohët moderne matematika ka sjellë rendin në një rëndësi më të madhe. Në ditët e mëparshme, ishte menduar (dhe filozofët janë ende të prirur të supozojnë) se sasia ishte nocioni themelor i matematikës. Por në ditët e sotme, sasia është dëbuar krejt, përveç nga një cep i vogël i Gjeometrisë, ndërsa rendi gjithnjë e më shumë po mbretëron në pushtetin suprem. Hetimi i llojeve të ndryshme të serive dhe marrëdhëniet e tyre tani është një pjesë shumë e madhe e matematikës, dhe është zbuluar se ky hetim mund të bëhet pa ndonjë referencë në sasi, dhe, në pjesën më të madhe, pa ndonjë referencë në numër. Të gjitha llojet e serive janë të afta për përcaktim zyrtar, dhe gjërat e tyre mund të nxirren nga parimet e logjikës simbolike me anë të Algjebrës të afërmve. Nocioni i një kufiri, i cili është thelbësor në pjesën më të madhe të matematikës më të lartë, dikur përcaktohej me anë të sasisë, si një term në të cilin termat e disa serive përafrojnë sa gati aq sa dëshirojmë. Por në ditët e sotme, kufiri përcaktohet krejt ndryshe, dhe seritë që ai kufizon mund të mos përafrohen fare. Ky përmirësim gjithashtu është për shkak të Cantor, dhe është ai që ka revolucionarizuar në matematikë. Vetëm rendi tani është i rëndësishëm për kufijtë. Kështu, për shembull, më e vogla e numrave të pafundmë është kufiri i numrave të plotë të kufizuar, megjithëse të gjithë numrat e plotë të kufizuar janë në një distancë të pafundme prej tij. Studimi i llojeve të ndryshme të serive është një lëndë e përgjithshme për të cilën studimi i numrave rendor (i përmendur më lart) është një degë e veçantë dhe shumë interesante. Por teknikat e pashmangshme të kësaj lënde e bëjnë të pamundur t'u shpjegohet ndonjë matematikani, por me profesion. Gjeometria, si Arithmetika, është përfshirë, në kohët e fundit, nën studimin e përgjithshëm të rendit. Më parë supozohej se Gjeometria ishte studimi i natyrës së hapësirës në të cilën jetojmë, dhe në përputhje me rrethanat është nxitur, nga ata që thanë se ajo që ekziston mund të dihet vetëm në mënyrë empirike, se Gjeometria duhet të konsiderohet me të vërtetë se i përket matematikës së aplikuar . Por gradualisht është shfaqur, me rritjen e sistemeve jo-Euklidiane , se Gjeometria nuk hedh më shumë dritë mbi natyrën e hapësirës sesa Arithmetika hedh mbi popullsinë e Shteteve të Bashkuara. Gjeometria është një koleksion i tërë i shkencave deduktive bazuar në një koleksion përkatës të grupeve të aksiomave. Një grup aksiomash është tek Euklidi; grupe të tjera po aq të mira të aksiomave çojnë në rezultate të tjera. Nëse aksiomat e Euklidit janë të vërteta, është një pyetje se cili matematikan i pastër është indiferent; dhe, për më tepër, është një pyetje për të cilën është teorikisht e pamundur të përgjigjemi me siguri në pohime. Mund të tregohet, me matje shumë të kujdesshme, se aksiomat e Euklidit janë false; por asnjë matje nuk mund të na siguronte kurrë (për shkak të gabimeve të vëzhgimit) se ato janë saktësisht të vërteta. Kështu, gjeometri i lë njeriut të shkencës që të vendosë, sa më mirë që mundet, cilat aksioma të jenë pothuajse të vërteta në botën aktuale. Gjeometri merr çdo grup aksiomash që duken interesante, dhe nxjerr pasojat e tyre. Ajo që përcakton Gjeometrinë, në këtë kuptim, është se aksiomat duhet të krijojnë një seri më shumë se një dimension. Dhe është kështu që Gjeometria bëhet një departament në studimin e rendit. Në Gjeometri, si në pjesët e tjera të matematikës, Peano dhe dishepujt e tij kanë bërë punë me meritë shumë më të madhe përsa i përket parimeve. Më parë, ajo ishte mbajtur nga filozofët dhe matematikanët ashtu që provat në Gjeometri varen nga figurat; në ditët e sotme, kjo dihet se është e rreme. Në librat më të mirë nuk ka shifra fare. Arsyetimi vijon nga rregullat e rrepta të logjikës formale nga një grup i aksiomave të përcaktuara për të filluar. Nëse përdoret një figurë, të gjitha llojet e gjërave të tjera duket qartë se duhet ti ndjekin, të cilat asnjë arsyetim zyrtar nuk mund të provojë nga aksiomat e qarta, dhe të cilat, si një fakt, pranohen vetëm sepse ato janë të dukshme. Duke dëbuar figurën, bëhet e mundur për të zbuluar _all_ aksiomat që janë të nevojshme; dhe në këtë mënyrë, të gjitha llojet e mundësive, të cilat përndryshe do të mbeteshin të pazbuluara, nxirren në dritë. Një përparim i shkëlqyeshëm, nga këndvështrimi i korrektësisë, është bërë duke futur pika siç kërkohen, dhe jo duke filluar, siç është bërë më parë, duke supozuar tërë hapësirën. Kjo metodë i takon pjesërisht Peano-së, pjesërisht një italiani tjetër të quajtur Fano. Për ata që nuk janë mësuar me të, ajo ka një klimë të pedantrisë disi të qëllimshme. Në këtë mënyrë, ne fillojmë me aksiomat e mëposhtme: (1) Ekziston një klasë e subjekteve që quhen _points_. (2) Ekziston të paktën një pikë. (3) Nëse _a_ është një pikë, ekziston të paktën një pikë tjetër përveç _a_. Atëherë ne sjellim në vijë të drejtë bashkimin e dy pikave, dhe fillojmë përsëri me (4), domethënë, në vijë të drejtë duke u bashkuar _a_ dhe _b_, ekziston të paktën një pikë tjetër përveç _a_ dhe _b_. (5) Ka të paktën një pikë jo në vijën _ab_. Dhe kështu vazhdojmë, derisa të kemi mjetet për të marrë sa më shumë pikë që kërkojmë. Por fjala _space_, siç vëren me humor Humano, është një gjë për të cilën Gjeometria nuk ka lidhje fare. Metodat e ngurta të përdorura nga gjeometrat modernë e kanë hequr Euklidin nga kulmi i tij i korrektësisë. U mendua, deri në kohët e fundit, se, siç përmendi Sir Henry Savile në 1621, kishte vetëm dy të meta tek Euklidi, teoria e paraleleve dhe teoria e proporcionit. Tani dihet se këto janë pothuajse të vetmet pika në të cilat Euklidi është i lirë nga njollat. Gabime të panumërta janë përfshirë në tetë propozimet e tij të para. Kjo do të thotë, jo vetëm që është e dyshimtë nëse aksiomat e tij janë të vërteta, që është një çështje relativisht e parëndësishme, por është e sigurt që propozimet e tij nuk vijojnë nga aksiomat që ai shqipton. Një numër shumë më i madh i aksiomave, të cilat Euklidi përdor pa vetëdije, kërkohen për provën e propozimeve të tij. Edhe në propozimin e parë të të gjithëve, ku ai ndërton një trekëndësh barabrinjës në një bazë të caktuar, ai përdor dy qarqe për të cilat supozohet se kryqëzohen. Por asnjë aksiomë e qartë nuk na siguron se ata e bëjnë këtë, dhe në disa lloje hapësirash ato jo gjithmonë kryqëzohen. Kjo është mjaft e dyshimtë nëse hapësira jonë i përket një prej këtyre llojeve apo jo. Kështu, Euklidi nuk arrin të provojë plotësisht pikën e tij në propozimin e parë. Meqenëse ai me siguri nuk është një autor i lehtë dhe është shumë i gjatë, ai nuk ka më interes, por thjesht interes historik. Në këto rrethana, nuk është asgjë më pak se një skandal që ai ende duhet t'u mësohet nxënësve. Një libër duhet të ketë ose kuptueshmëri ose korrektësi; të kombinohen të dy është e pamundur, por të mungojnë të dy është të jesh i padenjë për një vend të tillë që Euklidi ka zënë në arsim. Rezultati më i jashtëzakonshëm i metodave moderne në matematikë është rëndësia e logjikës simbolike dhe e formalizmit të ngurtë. Matematikanë, nën ndikimin e Weierstrass, kanë treguar në kohët moderne një kujdes për saktësinë dhe një shmangie ndaj arsyetimit të slipshodit, siç nuk ishte njohur midis tyre më parë që nga koha e Grekëve. Shpikjet e mëdha të shekullit të 17-të - Gjeometria Analitike dhe Llogaritja e Pafundme - ishin aq të frytshme në rezultate të reja, sa që matematikanët nuk kishin as kohë dhe as prirje për të shqyrtuar themelet e tyre. Filozofët, të cilët duhet të kishin marrë detyrën, kishin shumë pak aftësi matematikore për të shpikur degët e reja të matematikës të cilat tani janë gjetur të nevojshme për çdo diskutim adekuat.
Kështu, matematikanët u zgjuan vetëm nga "lagjet e tyre dogmatike" kur Weierstrass dhe pasuesit e tij treguan se shumë prej propozimeve të tyre më të dashura janë në përgjithësi të rreme. Macaulay, duke kundërshtuar sigurinë e matematikës me pasigurinë e filozofisë, pyet kush që ka dëgjuar ndonjëherë për një reagim kundër teoremës së Taylor? Nëse ai do të kishte jetuar tani, ai vetë mund të kishte dëgjuar për një reagim të tillë, sepse kjo është pikërisht një nga teoremat që hetimet moderne kanë rrëzuar. Tronditje të tilla të vrazhda ndaj besimit matematikor kanë prodhuar atë dashuri ndaj formalizmit, e cila shfaqet, për ata që janë injorantë për motivin e saj, të jenë thjesht pedantë të egër.
Dëshmia që e gjithë matematika e pastër, përfshirë Gjeometrinë, nuk është asgjë tjetër përveç logjikës formale, është një goditje fatale për filozofinë Kantiane. Kanti, me të drejtë duke perceptuar se propozimet e Euklidit nuk mund të nxirreshin nga aksiomat e Eukliditit pa ndihmën e figurave, shpiku një teori të dijes për të dhënë llogari për këtë fakt; dhe llogariste aq me sukses sa që, kur fakti tregohet se është thjesht një defekt i Euklidit, dhe jo si rezultat i natyrës së arsyetimit gjeometrik, teoria e Kantit gjithashtu duhet të braktiset. E gjithë doktrina e intuitive _a priori_, me anë të së cilës Kanti shpjegoi mundësinë e matematikës së pastër, është plotësisht e pa zbatueshme për matematikën në formën e saj të tanishme. Doktrinat Aristoteliane të arsimtarëve u afrohen më shumë frymës doktrinave që frymëzojnë matematika moderne; por nxënësit e shkollës u penguan nga fakti se logjika e tyre formale ishte shumë e dëmtuar dhe logjika filozofike e mbështetur në silogjizëm tregoi një ngushtësi përkatëse. Ajo që kërkohet tani është t'i jepet zhvillimi më i madh i mundshëm logjikës matematikore, të lejojë në tërësi rëndësinë e marrëdhënieve, dhe pastaj të gjesh mbi këtë bazë të sigurt një logjikë të re filozofike, e cila mund të shpresojë të huazojë disa nga saktësia dhe siguria e themelit të saj matematikor. Nëse kjo mund të realizohet me sukses, ekziston çdo arsye për të shpresuar se e ardhmja e afërt do të jetë po aq epokë në filozofinë e pastër sa e kaluara e menjëhershme ka qenë në parimet e matematikës. Triumfet e mëdha frymëzojnë shpresa të mëdha; dhe mendimi i pastër mund të arrijë, brenda gjeneratës sonë, rezultate të tilla që do të vendosin kohën tonë, në këtë drejtim, në një nivel me epokën më të madhe të Greqisë.
#NdalohetKopjimi
#Lejohetshpërndarja
#Librikomenti
