MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA
Pjesa e dytë
Njerëzit kanë zbuluar se si ta bëjnë arsyetimin simbolik, siç është në Algjebër, në mënyrë që zbritjet të realizohen nga rregullat matematikore. Ata kanë zbuluar shumë rregulla përveç silogjizmit, dhe një degë e re e logjikës, e quajtur Logjika e të afërmve, është shpikur për t'u marrë me tema që tejkaluan tërësisht fuqitë e logjikës së vjetër, megjithëse ato formojnë përmbajtjen kryesore të matematikës . Nuk është e lehtë për mendjen e thjeshtë që të kuptojë rëndësinë e simbolizmit në diskutimin e themeleve të matematikës, dhe shpjegimi ndoshta mund të duket si paradoksal. Fakti është që simbolika është e dobishme sepse i vështirëson gjërat. (Kjo nuk është e vërtetë për pjesët e përparuara të matematikës, por vetëm për fillimet.) Ajo që dëshirojmë të dimë është, çfarë mund të nxirret nga ajo tani. Tani, në fillimet e para, gjithçka është e vetëkuptueshme; dhe është shumë e vështirë të shihet nëse një propozim i vetëkuptueshëm vijon nga një tjetër apo jo. Dukuria është gjithmonë armiku i korrektësisë. Prandaj kemi shpikur një simbolikë të re dhe të vështirë, në të cilën asgjë nuk duket qartë. Atëherë vendosëm rregulla të caktuara për të funksionuar në simbole dhe e gjithë gjëja bëhet mekanike. Në këtë mënyrë ne zbulojmë se çfarë duhet të merret si premisë dhe çfarë mund të demonstrohet ose përcaktohet. Për shembull, e gjithë Aritmetika dhe Algjebra është treguar të kërkojë tre nocione të papërcaktueshme dhe pesë propozime të padepërtueshme. Por pa një simbolikë do të kishte qenë shumë e vështirë për ta zbuluar këtë. Është kaq e qartë që dy dhe dy janë katër, sa vështirë se mund ta bëjmë veten mjaft skeptik të dyshojmë nëse mund të provohet. Dhe e njëjta gjë vlen edhe në raste të tjera kur gjërat vetë-evidentuese duhen provuar. Por prova e propozimeve të vetëkuptueshme mund të duket, për të paditur, një okupim disi joserioz. Për këtë mund të përgjigjemi se shpesh nuk është e qartë se një propozim i qartë rrjedh nga një propozim tjetër i dukshëm; kështu që ne po zbulojmë vërtet të vërteta të reja kur vërtetojmë atë që është e dukshme me një metodë e cila nuk është e qartë. Por një reagim më interesant është se, pasi njerëzit janë përpjekur të provojnë propozime të dukshme, ata kanë zbuluar se shumë prej tyre janë të rremë. Vetë-prova është shpesh një dëshirë e thjeshtë , e cila është e sigurt se do të na devijojë nëse e marrim si udhëzuesin tonë. Për shembull, asgjë nuk është më e qartë se sa një tërësi ka më shumë sesa një pjesë, ose që një numër rritet duke shtuar një në të. Por këto propozime tani dihet se janë zakonisht false. Shumica e numrave janë të pafund, dhe nëse një numër është i pafund, mund t'i shtoni ato për sa kohë që ju pëlqen pa e shqetësuar atë më së paku. Një nga meritat e një prove është se ajo sjell një dyshim të caktuar në lidhje me rezultatin e provuar; dhe ajo që është e dukshme mund të vërtetohet në disa raste, por jo në të tjera, bëhet e mundur të supozohet se në këto raste të tjera është e rreme. Mjeshtri i madh i artit të arsyetimit zyrtar, midis burrave të ditëve tona, është një italian, Profesor Peano, i Universitetit të Torinos. Ai e ka zvogëluar pjesën më të madhe të matematikës (dhe ai ose pasuesit e tij, me kohë, do ta kenë zvogëluar të gjithë) në formë simbolike, në të cilën nuk ka fare fjalë. Në librat e zakonshëm matematikorë, nuk ka dyshim më pak fjalë nga sa do të dëshironin shumica e lexuesve. Prapëseprapë, ndodhin fraza të vogla, si p.sh : " pra, le të supozojmë, marrim në konsideratë_, ose _ vijmë kështu." Sidoqoftë, të gjitha këto janë një lëshim dhe janë shkatërruar nga profesori Peano. Për shembull, nëse dëshirojmë të mësojmë të gjithë Aritmetikën, Algjebrën, Llogaritjen dhe vërtet gjithçka që quhet zakonisht matematikë e pastër (përveç Gjeometrisë), duhet të fillojmë me një fjalor me tre fjalë. Një simbol qëndron për _zero_, një tjetër për _number_, dhe një i tretë _ _ pasxt_. Çfarë kuptojnë këto ide, është e nevojshme ti dini nëse dëshironi të bëheni aritmetik. Por pasi janë shpikur simbole për këto tre ide, nuk kërkohet një fjalë tjetër në tërë zhvillimin. Të gjitha simbolet e ardhshme shpjegohen në mënyrë simbolike me anë të këtyre të treve. Edhe këto tre mund të shpjegohen me anë të nocioneve të _relation_ dhe _class_; por kjo kërkon Logjikën e Marrëdhënieve, të cilën Profesor Peano nuk e ka marrë kurrë. Duhet pranuar se ajo që një matematikan duhet të dijë të fillojë nuk është shumë. Ekzistojnë së paku një duzinë nocionesh nga të cilat janë të ndërlikuara, të gjitha nocionet në të gjitha matematikat e pastra (përfshirë gjeometrinë). Profesori Peano, i cili ndihmohet nga një shkollë shumë e aftë e dishepujve të rinj italianë, ka treguar se si mund të bëhet kjo; dhe megjithëse metoda të cilën ai e ka shpikur është e aftë të bëjë një marrëveshje të mirë më tej se sa ai e ka bartur atë, nderi i pionierit duhet t'i takojë atij. Dyqind vjet më parë, Leibniz parashikoi shkencën që Peano ka përsosur, dhe u përpoq ta krijonte atë. Ai ishte penguar të arrinte sukses duke respektuar autoritetin e Aristotelit, të cilin nuk mund ta besonte fajtor për gabime të caktuara, formale; por tema që ai dëshironte të krijonte tani ekziston, përkundër përbuzjes patronizuese me të cilën skemat e tij janë trajtuar nga të gjithë personat eprorë. Nga kjo "Karakteristike Universale", siç e quante ai, ai shpresonte për zgjidhjen e të gjitha problemeve, dhe përfundimin e të gjitha mosmarrëveshjeve. "Nëse do të lindnin polemika," thotë ai, "nuk do të kishte më nevojë për grindje midis dy filozofëve sesa midis dy llogaritarëve. Për sa do të mjaftonte të merreshin lapsat e tyre në duar, të uleshin në tavolinat e tyre dhe të thoshim njëri-tjetrit (me një mik si dëshmitar, nëse ata pëlqejnë), 'Le të llogarisim.' "" Ky optimizëm tani është dukur disi i tepruar; ende ka probleme, zgjidhja e të cilave është e dyshimtë, dhe mosmarrëveshjet për të cilat llogaritja nuk mund të vendosë. Por mbi një fushë të madhe të asaj që dikur ishte e diskutueshme, ëndrra e Leibniz është bërë një fakt i matur. Në tërë filozofinë e matematikës, e cila dikur ishte të paktën aq e mbushur me dyshime si çdo pjesë tjetër e filozofisë, rendi dhe siguria kanë zëvendësuar konfuzionin dhe hezitimin që mbretëronte më parë. Filozofët, natyrisht, nuk e kanë zbuluar ende këtë fakt, dhe vazhdojnë të shkruajnë për tema të tilla në mënyrën e vjetër. Por matematikanët, të paktën në Itali, kanë tani fuqinë e trajtimit të parimeve të matematikës në mënyrë të saktë dhe mjeshtërore, me anë të të cilave siguria e matematikës shtrihet edhe në filozofinë matematikore. Prandaj, shumë nga temat që dikur vendoseshin midis mistereve të mëdha- për shembull, natyrat e pafundësisë, vazhdimësisë, hapësirës, kohës dhe lëvizjes - tani nuk janë më në asnjë shkallë të hapur për dyshime ose diskutime. Ata që dëshirojnë të dinë natyrën e këtyre gjërave, duhet të lexojnë vetëm veprat e burrave të tillë si Peano ose Georg Cantor; ata do të gjejnë ekspozime të sakta dhe të pashpjegueshme të të gjitha këtyre mistereve. Në këtë botë kapriçioze, asgjë nuk është më kapriçioze se fama pas vdekjes. Një nga shembujt më të dukshëm të mungesës së gjykimit të brezave pasardhës është Elementi Zeno. Ky njeri, i cili mund të vlerësohet si themeluesi i filozofisë së pafundësisë, shfaqet tek Parmenides të Platonit në pozicionin e privilegjuar të mësuesit të Sokratit. Ai shpiku katër argumente, të gjitha jashtëzakonisht delikate dhe të thella, për të dëshmuar se lëvizja është e pamundur, që Akili kurrë nuk mund të kapërcejë breshkën, dhe se një shigjetë në fluturim është vërtet në qetësi.
Vazhdon...
#NdalohetKopjimi
#Lejohetshpërndarja
#Librikomenti
