MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA
Pjesa e parë
Shekulli XIX, i cili krenohej me shpikjen e avullit dhe evolucionit, mund të kishte marrë një titull më të ligjshëm për famë nga zbulimi i matematikës së pastër. Kjo shkencë, si shumica e të tjerëve, u pagëzua përpara se të lindte; dhe kështu i gjejmë shkrimtarët para shekullit XIX duke aluduar në atë që ata e quanin matematikë të pastër. Por nëse do të ishin pyetur se cila ishte kjo temë, ata do të kishin mundësi të thoshin se përbëhej nga Aritmetika, Algjebra, Gjeometria, etj. Sa i përket asaj që këto studime kishin të përbashkëta, dhe sa i përket asaj që i dallonte ata nga matematika e aplikuar, paraardhësit tanë ishin plotësisht në errësirë. Matematika e pastër u zbulua nga Boole, në një punë të cilën ai e quajti Llojet e Mendimit (1854). Kjo punë thuhej se nuk ishte matematikore, nga fakti që Boole ishte shumë modest për të supozuar librin e tij të parë të shkruar ndonjëherë në matematikë. Ai gjithashtu kishte gabuar duke supozuar se merrej me ligjet e mendimit: pyetja se si njerëzit në të vërtetë mendojnë se ishte mjaft e parëndësishme për të, dhe nëse libri i tij kishte të vërteta që përmbante ligjet e mendimit, ishin kurioz që askush nuk duhet ta kishte menduar më parë në një mënyrë të tillë. Libri i tij në fakt merrej me logjikën formale, dhe kjo është e njëjta gjë si matematika. Matematika e pastër konsiston tërësisht nga pohimet për efektin se, nëse një propozim i tillë është i vërtetë për _ asgjë_, atëherë një propozim i tillë është i vërtetë për atë gjë. Është thelbësore të mos diskutohet nëse propozimi i parë është me të vërtetë i vërtetë, dhe të mos përmendim se çfarë është gjithçka, për të cilën supozohet të jetë e vërtetë. Të dyja këto pika do t'i përkisnin matematikës së aplikuar. Ne fillojmë, në matematikë të pastër, nga rregulla të caktuara të konkluzionit, me të cilat mund të konkludojmë se _X_ një propozim është i vërtetë, atëherë po kështu është edhe një propozim tjetër. Këto rregulla të përfundimit përbëjnë pjesën kryesore të parimeve të logjikës formale. Ne pastaj marrim çdo hipotezë që duket zbavitëse, dhe nxjerrim pasojat e saj. Nëse hipoteza jonë ka të bëjë me _X asgjë_, dhe jo për disa nga një ose më shumë gjëra të veçanta, atëherë zbritjet tona përbëjnë matematikë. Kështu, matematika mund të përkufizohet si lëndë në të cilën ne kurrë nuk dimë se për çfarë po flasim, as nëse ato që po themi janë të vërteta. Njerëzit të cilët janë në mëdyshje nga fillimet e matematikës, shpresoj se do të gjejnë rehati në këtë përkufizim dhe me siguri do të pajtohen që është i saktë. Ndërsa një nga triumfet kryesore të matematikës moderne konsiston në zbulimin e asaj që është vërtet matematike, disa fjalë të tjera mbi këtë temë mund të mos jenë keq. Është e zakonshme të filloni çdo degë të matematikës - për shembull, Gjeometri - me një numër të caktuar idesh primitive, të supozuara të paafta për përkufizim, dhe një numër të caktuar të propozimeve ose aksiomave primitive, të supozuara të paafta për prova. Tani fakti është se, megjithëse ka të paqarta dhe të papërcaktueshme në çdo degë të matematikës së aplikuar, nuk ka asnjë në matematikë të pastër përveç atyre që i përkasin logjikës së përgjithshme. Logjika, në përgjithësi, dallohet nga fakti se propozimet e saj mund të futen në një formë në të cilën ato vlejnë për çdo gjë. E gjithë matematika e pastër- Aritmetika, Analiza dhe Gjeometria - ndërtohet nga ndërthurjet e ideve primitive të logjikës, dhe propozimet e saj janë nxjerrë nga aksiomat e përgjithshme të logjikës, siç është silogizmi dhe rregullat e tjera të konkluzionit. Dhe kjo nuk është më një ëndërr apo një aspiratë. Përkundrazi, mbi pjesën më të madhe dhe më të vështirë të fushës së matematikës, ajo tashmë është realizuar; në disa raste të mbetura, nuk ka ndonjë vështirësi të veçantë, dhe tani ajo po arrihet me shpejtësi. Filozofët kanë diskutuar për shekuj nëse zbritja e tillë ishte e mundur; matematikanët janë ulur dhe kanë bërë zbritjen. Për filozofët nuk ka ngelur asgjë tjetër veçse mirënjohje të këndshme. Lënda e logjikës formale, e cila më në fund ka treguar se është identike me matematikën, ishte, siç e dinë të gjithë, e shpikur nga Aristoteli që formoi studimin kryesor (përveç teologjisë) të Mesjetës. Por Aristoteli asnjëherë nuk e kapërceu silogjizmin, që është një pjesë shumë e vogël e lëndës, dhe shkollarët e tij nuk ikën kurrë përtej Aristotelit. Nëse kërkohej ndonjë provë e epërsisë sonë ndaj mjekëve mesatar, mund të gjendet në këtë. Përgjatë Mesjetës, pothuajse të gjitha intelektet më të mira iu përkushtuan logjikës formale, ndërsa në shekullin XIX vetëm një pjesë e vogël e mendimit të botës hynte në këtë temë. Sidoqoftë, në çdo dekadë që nga viti 1850 është bërë më shumë për avancimin e temës sesa në tërë periudhën nga Aristoteli deri tek Leibnizi.
Vazhdon...
