Studim për mendjet e kalitura dhe sytë e fortë.
Ndalohet për mendjet e ngurta dhe përtacët.
STUDIMI I MATEMATIKËS DHE ARSYETIMI I SHËNDOSHË
Në lidhje me çdo formë të veprimtarisë njerëzore është e nevojshme që pyetja të parashtrohet herë pas here : Cili është qëllimi dhe ideali i tij? Në çfarë mënyre kontribuon në bukurinë e ekzistencës njerëzore? Sa i përket respektimit të atyre ndjekjeve që kontribuojnë vetëm nga distanca, duke siguruar mekanizmin e jetës, është mirë të kujtohet se nuk duhet të dëshirohet vetëm fakti i të jetuarit, por arti i të jetuarit në soditje të gjërave të mëdha. Akoma më shumë në lidhje me ato avokime që nuk kanë fund jashtë vetvetes, të cilat do të justifikohen, nëse aspak, siç shtohet në të vërtetë shuma e pasurive të përhershme në botë, është e nevojshme të mbani gjallë një njohuri për qëllimet e tyre, një vizion të qartë parafytyrues i tempullit në të cilin do të mishërohet imagjinata krijuese. Përmbushja e kësaj nevoje, në atë që ka të bëjë me studimet që formojnë materialin mbi të cilin zakon ka vendosur të stërvisë mendjen rinore, është me të vërtetë i trishtuar - aq i largët sa të bëjë që deklarata e thjeshtë e një kërkese të tillë të duket e padurueshme. Njerëz të mëdhenj, plotësisht të gjallë për bukurinë e soditjeve, në shërbim të të cilëve u kushtohet jeta e tyre, duke dëshiruar që të tjerët të mund të ndajnë në gëzimet e tyre, bindën njerëzimin që të transmetojë për brezat pasardhës njohuritë mekanike, pa të cilat është e pamundur të kalosh pragun. Pedantët e thatë e kanë vendosur veten në privilegjin e nxitjes së kësaj njohjeje: ata harrojnë se është për të shërbyer, por si çelës për të hapur dyert e tempullit; megjithëse ata e kalojnë jetën e tyre në hapat që çojnë deri në ato dyert e shenjta, ata i kthejnë shpinën tempullit aq shumë me vendosmëri sa që vetë ekzistenca e tij harrohet, dhe rinia e etur, e cila do të shtynte përpara për të filluar në kupolat dhe harqet e saj, është i ndaluar të kthehet mbrapa dhe të numërojë hapat. Matematika, mbase edhe më shumë sesa studimi i Greqisë dhe Romës, ka vuajtur nga kjo harresë e vendit të saj të duhur në civilizim. Megjithëse tradita ka dekretuar që pjesa më e madhe e njerëzve të arsimuar do të njohin të paktën elementët e lëndës, arsyet për të cilat lindi tradita janë harruar, të varrosura nën një grumbull të madh të pedantëve dhe makinerive, udhëtimi nga një vend në tjetrin dhe fitorja ndaj kombeve të huaja, qoftë në luftë apo tregti. Nëse kundërshtohet që këto mbarime - të gjitha kanë vlerë të dyshimtë - nuk do të vijojnë më tej nga studimi thjesht fillor i imponuar atyre që nuk bëhen matematikanë ekspertë, përgjigja, është e vërtetë, me siguri do të jetë që matematika trajnon arsyetimin e fakulteteve. Megjithatë, shumë njerëz që e japin këtë përgjigje, në pjesën më të madhe nuk janë të gatshëm të braktisin mësimin e gabimeve të caktuara, të cilat njihen si të tilla, dhe instinktivisht të refuzuara nga mendja e pakënaqur e çdo nxënësi inteligjent. Dhe vetë fakulteti i arsyetimit konceptohet përgjithësisht, nga ata që kërkojnë kultivimin e tij, si thjesht një mjet për shmangien e kurtheve dhe një ndihmë në zbulimin e rregullave për udhëheqjen e jetës praktike. Të gjitha këto janë arritje të pamohueshme e të rëndësishme për kredinë e matematikës; megjithatë nuk është asnjë nga këto që i jep të drejtën matematikës një vend në çdo arsimim liberal. Platoni, ne e dimë, e konsideroi soditjen e të vërtetave matematikore si të denjë për Hyjninë; dhe Platoni kuptoi, më shumë se çdo njeri i vetëm, cilat janë ato elemente në jetën e njeriut që meritojnë një vend në parajsën e dijes. Ekziston në matematikë, thotë ai, "diçka që është e domosdoshme_ dhe nuk mund të lihet mënjanë ... dhe, nëse nuk gaboj, e domosdoshmërisë hyjnore; sepse për sa i përket nevojave njerëzore për të cilat flasin shumë në këtë lidhje, asgjë nuk mund të jetë më qesharake sesa një zbatim i tillë i fjalëve.
_Cleinias._ Dhe cilat janë këto domosdoshmëri të dijes, Stranger, të cilat janë hyjnore dhe jo njerëzore?
_Athenian._ Ato gjëra pa ndonjë përdorim ose njohuri për të cilat një njeri nuk mund të bëhet Zot i botës, as shpirt, as akoma një hero, dhe as në gjendje të mendojë me zell për njeriun "(_Laws_, f. 818).
I tillë ishte gjykimi i Platonit për matematikën; por matematikanët nuk e lexojnë Platonin, ndërsa ata që e lexojnë nuk dinë asnjë matematikë, dhe e konsiderojnë mendimin e tij mbi këtë pyetje si thjesht një shmangie kurioze. Matematika, e shikuar me të drejtë, posedon jo vetëm të vërteta, por një bukuri supreme - një bukuri të ftohtë dhe të ashpër, si ajo e skulpturës, pa apel për ndonjë pjesë të natyrës sonë më të dobët, pa gjurmët e mrekullueshme të pikturës ose muzikës, por me sublimim të pastër, dhe i aftë për një përsosmëri të ashpër siç është vetëm arti më i madh që mund të tregojë. Fryma e vërtetë e kënaqësisë, ekzaltimi, ndjenja e të qenurit më shumë se njeriu, që është gur themeli i përsosmërisë më të lartë, duhet të gjendet në matematikë po aq sigurisht sa në poezi. Ajo që është më e mira në matematikë nuk meriton thjesht të mësohet si detyrë, por të asimilohet si pjesë e mendimit të përditshëm, dhe të sillet përsëri dhe përsëri para mendjes me një nxitje të përtërirë . Jeta reale është, për shumicën e njerëzve, një e dytë më e mirë se tjetra , një kompromis i përhershëm midis idealit dhe të mundshmes; por bota e arsyes së pastër nuk njeh asnjë kompromis, asnjë kufizim praktik, as ndonjë pengesë për veprimtarinë krijuese që mishëron në ndërtime të shkëlqyeshme aspiratën pasionante pas perfektës nga e cila burojnë të gjitha punët e shkëlqyera. Të larguar nga pasionet njerëzore, të largëta edhe nga faktet e bukura të natyrës, brezat gradualisht kanë krijuar një planet të porositur, ku mendimi i pastër mund të banojë si në
shtëpinë e tij natyrore, dhe ku një, të paktën, nga impulset tona më fisnike mund të shpëtojë nga zjarri mërgimi i botës aktuale. Megjithatë, kaq pak, ka matematikanë që synojnë bukurinë, sa që asgjë në punën e tyre nuk e ka pasur këtë qëllim të vetëdijshëm. Shumë, për shkak të instinkteve të papërmbajtshme, të cilat ishin më të mira se besimet e mbara, janë formuar nga një shije e pavetëdijshme; por gjithashtu shumë janë prishur nga nocionet e rreme të asaj që ishte e përshtatshme. Përsosmëria karakteristike e matematikës është vetëm kur arsyetimi është i logjikshëm: rregullat e logjikës janë për matematikën, ato që janë të strukturës janë për arkitekturën. Në veprën më të bukur, paraqitet një zinxhir argumenti në të cilin çdo lidhje është e rëndësishme në llogarinë e vet, në të cilën ka një ajër lehtësie dhe kthjelltësie në të gjitha, dhe ambientet arrijnë më shumë sesa do të mendohej , me anë të të cilave duken të natyrshme dhe të pashmangshme. Literatura mishëron atë që është e përgjithshme në rrethana të veçanta, rëndësia universale e së cilës shkëlqen përmes veshjes së tyre individuale; por matematika përpiqet të paraqesë gjithçka që është më e përgjithshme në pastërtinë e saj, pa ndonjë gjurmë të parëndësishme.
Si duhet të bëhet mësimi i matematikës në mënyrë që të komunikojë me nxënësin sa më shumë që të jetë e mundur për këtë ideal të lartë? Këtu përvoja duhet, në një masë të madhe, të jetë udhëzuesi ynë; por disa maksima mund të rezultojnë nga marrja parasysh e qëllimit përfundimtar që duhet të arrihet. Një nga qëllimet kryesore të shërbyera nga matematika, kur mësohet me të drejtë, është të zgjojë besimin e nxënësit për arsyen, besimin e tij në të vërtetën e asaj që është demonstruar dhe në vlerën e demonstrimit. Ky qëllim nuk shërbehet nga udhëzimet ekzistuese; por është e lehtë të shihen mënyra me të cilat mund të shërbehet. Aktualisht, në atë që ka të bëjë me aritmetikën, djalit ose vajzës i jepen një sërë rregullash, të cilat e paraqesin veten as të vërtetë dhe as të rreme, por thjesht si vullnet të mësuesit, mënyrën në të cilën, për ndonjë arsye të padurueshme, mësuesi preferon për të luajtur ndeshjen. Në një farë mase, në një studim të një shoqërie praktike të tillë të caktuar, kjo pa dyshim që është e pashmangshme; por sa më shpejt që të jetë e mundur, arsyet e rregullave duhet të përcaktohen me çfarëdo mjeti që tërheqin më lehtë në mendjen fëminore. Në gjeometri, në vend të aparatit të lodhshëm të provave të pasakta për truizmat e dukshme që përbëjnë fillimin e Euklidit, nxënësit duhet të lejohen që në fillim të marrin të vërtetën e gjithçkaje të dukshme, dhe duhet të udhëzohen në demonstrimet e teoremave që janë në të njëjtën kohë befasuese dhe lehtësisht e verifikueshme nga vizatimi aktual, siç janë ato në të cilat tregohet se tre ose më shumë rreshta takohen në një pikë. Në këtë mënyrë gjenerohet besimi; shihet se arsyetimi mund të çojë në përfundime befasuese, të cilat megjithatë faktet do ta verifikojnë; dhe në këtë mënyrë, gradualisht tejkalohet mosbesimi instinktiv ndaj çdo gjëje abstrakte ose racionale. Kur teoremat janë të vështira, ato duhet së pari të mësohen si ushtrime në vizatimin gjeometrik, derisa figura të jetë bërë plotësisht e njohur; atëherë do të jetë një përparim i këndshëm për t'u mësuar lidhjet logjike të linjave ose qarqeve të ndryshme që ndodhin. Është e dëshirueshme gjithashtu që figura që ilustron një teoremë duhet të jetë e vizatuar në të gjitha rastet dhe format e mundshme, në mënyrë që marrëdhëniet abstrakte me të cilat gjeometria të ketë të bëjë vetë mund të shfaqen si mbetje e ngjashmërisë mes një larmie kaq të dukshme. Në këtë mënyrë demonstrimet abstrakte duhet të formojnë, por një pjesë e vogël e udhëzimit, dhe duhet të jepen kur, nga familjariteti me ilustrime konkrete, ato janë kuptuar si mishërim natyror i faktit të dukshëm. Në këtë fazë të hershme provat nuk duhet të jenë dhënë me plotësi pedantike; padyshim që metodat e gabuara, siç është ajo e superpozicionit, duhet të përjashtohen në mënyrë rigoroze nga e para, por ku, pa metoda të tilla, prova do të ishte shumë e vështirë, rezultati duhet të jepet i pranueshëm nga argumente dhe ilustrime të cilat shprehen qartë në kontrast me demonstrimet. Në fillim të algjebrës, edhe fëmija më inteligjent gjen, si rregull, vështirësi shumë të mëdha. Përdorimi i shkronjave është një mister, i cili duket se nuk ka qëllim përveç mistifikimit. Është pothuajse e pamundur, në fillim, të mos mendosh që çdo shkronjë nënkupton ndonjë numër të veçantë, nëse vetëm mësuesi do të zbulonte _ çfarë numri_ është ai. Fakti është që në algjebër mendja së pari mësohet të marrë në konsideratë të vërtetat e përgjithshme, të vërtetat për të cilat nuk pretendohet se mbajnë vetëm këtë apo atë gjë të veçantë, por për cilindo prej një grupi të tërë gjërash.
Është në fuqinë e të kuptuarit dhe zbulimit të të vërtetave të tilla që zotërimi i intelektit mbi tërë botën e gjërave aktuale dhe të mundshme; dhe aftësia për t'u marrë me gjeneralin si i tillë është një nga dhuratat që duhet të dhurojë një arsim matematikor. Por, sa pak, si rregull, mësuesi i algjebres është në gjendje të shpjegojë shkallën që e ndan atë nga aritmetika, dhe sa pak është ndihmuar nxënësi në përpjekjet e tij për të kuptuar! Zakonisht, metoda që është miratuar në aritmetikë vazhdon: përcaktohen rregulla, pa ndonjë shpjegim adekuat të bazave të tyre; nxënësi mëson të përdorë rregullat në mënyrë të verbër, dhe aktualisht, kur ai është në gjendje të marrë përgjigjen që dëshiron mësuesi, ai ndjen se ai ka zotëruar vështirësitë e lëndës. Por për të kuptuarin e brendshëm të proceseve të përdorura ai ndoshta nuk ka fituar pothuajse asgjë. Kur është mësuar mirë algjebra, gjithçka shkon pa probleme derisa të arrijmë në ato studime në të cilat është përdorur nocioni i pafundësisë - llogaritja infinitum dhe tërësia e matematikës më të lartë. Zgjidhja e vështirësive që më parë rrethuan pafundësinë matematikore është ndoshta arritja më e madhe për të cilën epoka jonë duhet të mburret. Që nga fillimet e mendimit Grek, këto vështirësi janë njohur; në çdo epokë intelektualët më të mirë janë përpjekur kot t'i përgjigjen pyetjeve në dukje të pasigurta që ishin bërë nga Zeno the Eleatic. Më në fund Georg Cantor ka gjetur përgjigjen dhe ka pushtuar me intelekt një provincë të re dhe të gjerë, e cila i ishte dorëzuar Kaosit dhe Errësirës së Vjetër. Është supozuar si e vetëkuptueshme, derisa Cantor dhe Dedekind vendosën të kundërtën, se nëse, nga ndonjë koleksion i gjërave, disa ishin hequr, numri i gjërave të mbetura duhet të jetë gjithnjë më i vogël se numri origjinal i gjërave. Ky supozim, në të vërtetë, ka vetëm koleksione të fundme; dhe refuzimi i tij, ku bëhet fjalë për pafundësinë, është treguar për të hequr të gjitha vështirësitë që deri më tani kishin shqetësuar arsyen njerëzore në këtë çështje, dhe për të bërë të mundur krijimin e një shkence të saktë të pafundme. Ky fakt tronditës duhet të prodhojë një revolucion në mësimin më të lartë të matematikës; ajo vetë ka shtuar pa masë vlerën arsimore të lëndës, dhe më në fund i ka dhënë mjetet e trajtimit me përpikmëri logjike shumë studime të cilat, deri vonë, ishin mbështjellë në gabime dhe errësirë. Nga ata që ishin arsimuar në linjat e vjetra, vepra e re konsiderohet të jetë jashtëzakonisht e vështirë, absurde dhe e errët; dhe ajo duhet të rrëfehet si zbulues, siç ndodh shpesh, vështirë se vetë ka dalë nga mjegullat, të cilat drita e intelektit të tij po shpërndahet. Por në mënyrë të natyrshme, doktrina e re e pafund, për të gjithë mendjet e sinqerta dhe kërkuese, ka lehtësuar mjeshtërinë e matematikës më të lartë; deri më tani, ka qenë e nevojshme të mësohet, me anë të një procesi të gjatë sofistikimi, për të dhënë pëlqimin e argumenteve të cilat, me njohjen e parë, me të drejtë u gjykuan të ngatërruara dhe të gabuara. Deri më tani nga prodhimi i një besimi të patrembur për arsyen, një refuzim i guximshëm i çdo gjëje që nuk arriti të përmbushë kërkesat më të rrepta të logjikës, një trajnim matematikor, gjatë dy shekujve të fundit, inkurajoi besimin se shumë gjëra, të cilat një hetim i ngurtë do t’i hidhte poshtë si të gabueshëm, prapëseprapë duhet të pranohen sepse ata punojnë në atë që një matematikan e quan "praktikë". Me këtë mjet, një frymë e ndrojtur, kompromentuese, ose thënë ndryshe një besim sakrrotik në mistere jo të kuptueshme nga profanja, është edukuar aty ku vetëm arsyeja duhet të kishte sunduar. E gjithë kjo tani është koha për të fshirë; le që ata që dëshirojnë të depërtojnë në harkun e matematikës, të mësohen menjëherë me teorinë e vërtetë në të gjithë pastërtinë e tij logjike, dhe në bashkimin e themeluar nga vetë thelbi i subjekteve në fjalë. Nëse po vlerësojmë matematikën si një qëllim në vetvete, dhe jo si një trajnim teknik për inxhinierët, është shumë e dëshirueshme të ruhet pastërtia dhe rreptësia e arsyetimit të saj. Në përputhje me rrethanat, ata që kanë arritur një njohuri të mjaftueshme me pjesët e saj më të lehta, duhet të drejtohen prapa nga propozimet për të cilat ata kanë akorduar si të vetëkuptueshme për gjithnjë e më shumë parime thelbësore nga të cilat mund të nxirret ajo që më parë u shfaq si premisa. Ata duhet të mësohen - atë që ilustron me lehtësi teoria e pafundësisë - që shumë propozime duken të vetëkuptueshme për mendjen e pa trajnuar, e cila, megjithatë, një kontroll më i afërt tregon se është i rremë. Me këtë mjet ata do të çohen në një hetim skeptik ndaj parimeve të para, një ekzaminim të themeleve mbi të cilin është ndërtuar e gjithë ngrehina e arsyetimit, ose, për të marrë ndoshta një metaforë më të përshtatshme, bagazhin e madh nga i cili burojnë degët përhapëse. Në këtë fazë, është mirë të studiojmë përsëri pjesët elementare të matematikës, duke mos pyetur më thjesht nëse një propozim i dhënë është i vërtetë, por edhe se si rritet nga parimet kryesore të logjikës. Pyetjeve të kësaj natyre tani mund të përgjigjen me një saktësi dhe siguri të cilat ishin më parë të pamundura; dhe në zinxhirët e arsyetimit që përgjigja kërkon unitetin e të gjitha studimeve matematikore më në fund shpaloset vetë.
Në shumicën e rasteve të librave shkollorë matematika ka një mungesë totale të unitetit në metodë dhe zhvillim sistematik të një teme qendrore. Propozimet e llojeve shumë të ndryshme vërtetohen me çfarëdo mjeti që mendohet më lehtë e kuptueshme, dhe shumë hapësirë i kushtohet kurioziteteve të thjeshta të cilat në asnjë mënyrë nuk kontribuojnë në argumentin kryesor. Por në veprat më të mëdha, uniteti dhe pashmangshmëria ndjehen si në shpalosjen e një drame; në premisë një temë propozohet për shqyrtim, dhe në çdo hap pasues bëhet një përparim i caktuar drejt mjeshtërisë së natyrës së saj. Dashuria e sistemit, e ndërlidhjes, që është ndoshta thelbi kryesor i impulsit intelektual, mund të gjejë një lojë të lirë në matematikë si askund tjetër. Nxënësi që e ndjen këtë impuls nuk duhet të zmbrapset nga një mori shembujsh të pakuptimtë ose të hutuara nga çudira zbavitëse, por duhet të inkurajohen të merren me parimet qendrore, të njihen me strukturën e lëndëve të ndryshme që janë parashtruar para tij, për të udhëtuar me lehtësi nëpër hapat e zbritjeve më të rëndësishme. Në këtë mënyrë kultivohet një ton i mirë i mendjes dhe vëmendja selektive mësohet të merret me përparësi mbi atë që është me peshë dhe thelbësore. Kur studimet e ndara në të cilat ndahet matematika, secili është parë si një e tërë logjike, si një rritje natyrore nga propozimet që përbëjnë parimet e tyre, nxënësi do të jetë në gjendje të kuptojë shkencën themelore që unifikon dhe sistematizon tërësinë e arsyetimit deduktiv. Kjo është logjikë simbolike - një studim i cili, megjithëse i detyrohet fillimit të tij Aristotelit, megjithatë, në zhvillimet e tij më të gjera, është një produkt, pothuajse tërësisht, i shekullit XIX, dhe është me të vërtetë, në ditët e sotme, akoma në rritje me të madhe shpejtësia e saj. Metoda e vërtetë e zbulimit në logjikën simbolike, dhe ndoshta edhe metoda më e mirë për prezantimin e studimit te një nxënës i njohur me pjesë të tjera të matematikës, është analiza e shembujve aktualë të arsyetimit deduktiv, me synimin për zbulimin e parimeve të përdorura. Këto parime, për pjesën më të madhe, janë ngulitur aq shumë në instinktet tona relacionale, saqë janë të punësuara mjaft pa vetëdije dhe mund të tërhiqen në dritë vetëm me shumë përpjekje të pacientit. Por kur më në fund u gjetën, ata janë parë të jenë të paktë në numër dhe të jenë burimi i vetëm i gjithçkaje në matematikën e pastër. Zbulimi që e gjithë matematika pason në mënyrë të pashmangshme nga një koleksion i vogël i ligjeve themelore është ai që rrit pa masë bukurinë intelektuale të të tërës; për ata që janë shtypur nga natyra fragmentare dhe e paplotë e shumicës së zinxhirëve ekzistues të zbritjes, ky zbulim vjen me të gjithë forcën dërrmuese të një zbulese; si një pallat që del nga mjegulla e vjeshtës ndërsa udhëtari ngjitet në një kodër të lartë, katet hijerëndë të ndërtesës matematikore shfaqen në rendin dhe proporcionin e tyre të duhur, me një përsosmëri të re në çdo pjesë. Derisa logjika simbolike të kishte fituar zhvillimin e saj të tanishëm, parimet nga të cilat varet matematika gjithnjë duhej të ishin filozofike, dhe të zbulueshme vetëm me metodat e pasigurta, jo progresive të përdorura deri më tani nga filozofët. Për sa kohë që u mendua, matematika dukej se nuk ishte autonome, por varej nga një studim i cili kishte metoda krejt të tjera sesa të vetat. Për më tepër, pasi që natyra e postulateve nga të cilat duhet të nxirren me aritmetikën, analizën dhe gjeometrinë ishte e mbështjellë në të gjitha errësirat tradicionale të diskutimit metafizik, ndërtesa e ndërtuar mbi themele të tilla të dyshimta filloi të shihej jo më mirë se një kështjellë në ajër. Në këtë drejtim, zbulimi se parimet e vërteta janë po aq pjesë e matematikës, si çdo pasojë e tyre, ka rritur shumë ndjeshëm kënaqësinë intelektuale që do të përftohet. Kjo kënaqësi nuk duhet të refuzohet për nxënësit e aftë për ta shijuar atë, sepse është e një lloji që të rrisim respektin tonë për fuqitë njerëzore dhe njohuritë tona për bukuritë që i përkasin botës abstrakte.
Filozofët zakonisht kanë thënë që ligjet e logjikës, të cilat nënvizojnë matematikën, janë ligje të mendimit, ligje që rregullojnë funksionimin e mendjet tona.
Me këtë mendim, dinjiteti i vërtetë i arsyes është ulur shumë: ai pushon së qeni një hetim për vetë zemrën dhe thelbin e pandryshueshëm të të gjitha gjërave aktuale dhe të mundshme, duke u bërë, përkundrazi, një hetim për diçka pak a shumë njerëzore dhe duke iu nënshtruar kufizimeve tona . Konsiderimi i asaj që është jo-njerëzore, zbulimi që mendjet tona janë të afta të merren me materiale që nuk janë krijuar prej tyre, mbi të gjitha, realizimi se bukuria i përket botës së jashtme, për sa i përket brendësisë, janë mjeti kryesor për të kapërcyer në mënyrë të tmerrshme ndjenjën e dobësisë, e mangësisë, e mërgimit mes masave të fuqive armiqësore, e cila është shumë e prirur të rezultojë nga pranimi i të gjithave, por jo forcat e plotfuqishmërisë së huaj. Për tu pajtuar, me ekspozitën e bukurisë së saj të tmerrshme, deri në mbretërimin e Fatit - që është thjesht personifikim letrar i këtyre forcave - është detyrë e tragjedisë. Por matematika na bën të jemi akoma më larg nga ajo që është njerëzore, në rajonin e domosdoshmërisë absolute, së cilës jo vetëm bota aktuale, por çdo botë e mundshme duhet të përputhet; dhe madje edhe këtu ai ndërton një banesë, ose më saktë gjen një banesë nën këmbë përjetësisht, ku idealet tona janë plotësisht të kënaqura dhe shpresat tona më të mira nuk janë prishur. Vetëm kur e kuptojmë plotësisht pavarësinë e vetvetes, e cila i përket kësaj bote që gjen arsye, ne mund të kuptojmë siç duhet rëndësinë e thellë të bukurisë së saj. Jo vetëm që matematika është e pavarur nga ne dhe mendimet tona, por në një kuptim tjetër ne dhe i gjithë universi i gjërave ekzistuese jemi të pavarur nga matematika. Kapja e këtij personazhi thjesht ideal është i domosdoshëm, nëse do të kuptojmë me të drejtë vendin e matematikës si një ndër artet.
Më parë mendohej se arsyeja e pastër mund të vendoste, në disa aspekte, për natyrën e botës aktuale: gjeometria, të paktën, mendohej se merrej me hapësirën në të cilën jetojmë. Por ne tani e dimë se matematika e pastër nuk mund të përgjigjet kurrë mbi pyetjet e ekzistencës aktuale: bota e arsyes, në një farë kuptimi, kontrollon botën e faktit, por nuk është në asnjë moment krijuese e faktit, dhe në zbatimin e rezultateve të saj për të bota në kohë dhe hapësirë, siguria dhe saktësia e saj humbasin midis përafrimeve dhe hipotezave të punës. Objektet e konsideruara nga matematikanët, në të kaluarën kanë qenë kryesisht të një lloji të sugjeruar nga fenomenet; por nga kufizime të tilla, imagjinata abstrakte duhet të jetë plotësisht e lirë. Kështu që duhet të jepet një liri reciproke: arsyeja nuk mund t'i diktojë botës së fakteve, por as faktet nuk mund të kufizojnë privilegjin e arsyes për t'u marrë me çfarëdo objekti, dashuria e saj për bukurinë mund të bëjë që të duket e vlefshme. Këtu, si diku tjetër, ne ndërtojmë idealet tona nga fragmentet që do të gjenden në botë; dhe në fund është e vështirë të thuhet nëse rezultati është një krijim apo një zbulim. Është shumë e dëshirueshme, në udhëzime, jo thjesht ta bindim studentin për saktësinë e teoremave të rëndësishme, por ta bindësh atë në mënyrën që vetë, nga të gjitha mënyrat e mundshme, të ketë më të bukurën. Interesi i vërtetë i një demonstrimi nuk është, siç sugjerojnë mënyrat tradicionale të ekspozitës, të përqendruara plotësisht në rezultat; aty ku kjo ndodh, ajo duhet të shihet si një defekt, për tu korrigjuar, nëse është e mundur, duke gjeneruar kështu hapat e provës që secili bëhet i rëndësishëm në dhe për vete. Një argument i cili shërben vetëm për të provuar një përfundim është si një histori në varësi të moralit që është menduar të mësojë: për përsosmërinë estetike asnjë pjesë e tërë nuk duhet të jetë thjesht një mjet. Një frymë e caktuar praktike, një dëshirë për përparim të shpejtë, për pushtimin e sferave të reja, është përgjegjës për theksimin e padrejtë mbi rezultatet që mbizotërojnë në udhëzimet matematikore. Mënyra më e mirë është të propozoni disa tema për shqyrtim - në gjeometri, një figurë që ka veti të rëndësishme; në analizë, një funksion i të cilit studimi po ndriçon, etj. Kurdoherë që provat varen nga vetëm disa nga shenjat me të cilat përcaktojmë objektin që do të studiohet, këto shenja duhet të izolohen dhe hetohen në llogarinë e tyre. Sepse është një defekt, që në një argument, të përdorësh më shumë premisa sesa përfundimi kërkon: ajo që matematikanët e quajnë hijeshi rezulton nga përdorimi i vetëm i parimeve thelbësore në sajë të të cilave teza është e vërtetë. Është një meritë e Euklidit që ai përparon aq sa është në gjendje të shkojë pa shfrytëzuar aksiomën e paraleleve - jo, siç thuhet shpesh, sepse kjo aksiomë është në thelb i kundërshtueshëm, por sepse, në matematikë, çdo aksiomë e re zvogëlohet nga përgjithësia e teoremave që rezultojnë dhe gjeneraliteti më i madh i mundshëm është para se të kërkohen të gjitha gjërat. Nga efektet e matematikës jashtë sferës së vet më shumë është shkruar sesa në temën e idealit të vet të duhur.
Efekti mbi filozofinë ka qenë, në të kaluarën, më i dukshëm, por më i larmishmi; në shekullin e shtatëmbëdhjetë, idealizmi dhe racionalizmi, në tetëmbëdhjetë, materializmi dhe sensacionalizmi, dukeshin njëlloj për pasardhësit e tij. Për efektin që ka të ngjarë të ketë në të ardhmen do të ishte shumë e nxituar të thuash shumë; por në një aspekt një rezultat i mirë duket i mundshëm. Kundër këtij lloji të skepticizmit që braktis ndjekjen e idealeve sepse rruga është e vështirë dhe qëllimi jo sigurisht i arritshëm, matematika, brenda sferës së vet, është një përgjigje e plotë. Shumë shpesh thuhet se nuk ka asnjë të vërtetë absolute, por vetëm mendim dhe gjykim privat; që secili prej nesh është i kushtëzuar, sipas pikëpamjes së tij për botën, nga veçoritë e tij, shija dhe paragjykimi i tij; se nuk ka asnjë mbretëri të jashtme të së vërtetës, së cilës, me durim dhe disiplinë, mund të marrim më në fund pranimin, por vetëm të vërtetën për mua, për ju, për çdo person të veçantë. Me këtë zakon të mendjes, një nga skajet kryesore të përpjekjeve njerëzore mohohet, dhe virtyti suprem i dhuratës, i njohjes së patrembur të asaj që është, zhduket nga vizioni ynë moral. Për një skepticizëm të tillë matematika është një qortim i përhershëm; sepse ndërtimi i të vërtetave qëndron i palëkundshëm dhe i padobishëm për të gjitha armët e cinizmit të dyshimtë. Efektet e matematikës në jetën praktike, megjithëse ato nuk duhet të konsiderohen si motivi i studimeve tona, mund të përdoren për t'iu përgjigjur një dyshimi, ndaj të cilit studenti i vetmuar duhet të jetë gjithnjë përgjegjës. Në një botë kaq të mbushur me të këqija dhe vuajtje, pensioni në grilën e soditjes, deri në shijimin e kënaqësive të cilat, sado fisnike, duhet të jenë gjithnjë për të paktët, nuk mund të shfaqen si një refuzim disi egoist për të ndarë barrën që u është imponuar të tjerëve nga aksidentet në të cilat drejtësia nuk luan asnjë rol. Kemi të drejtën e ndonjërit prej nesh, të kërkojmë, të tërhiqemi nga të këqijat e tanishme, të lëmë bashkëqytarët tanë të pajetë, ndërsa ne jetojmë një jetë e cila, megjithëse e vështirë dhe e ashpër, është akoma e mirë në natyrën e vet? Kur lindin këto pyetje, përgjigja e vërtetë është, pa dyshim, që disa duhet ta mbajnë gjallë zjarrin e shenjtë, disa duhet të ruajnë, në çdo brez, vizionin e përhumbur, i cili hijezon qëllimin e kaq shumë përpjekjesh. Por kur, siç duhet të ndodhë nganjëherë, kjo përgjigje duket tepër e ftohtë, kur jemi pothuajse të çmendur nga spektakli i pikëllimeve, të cilave ne nuk sjellim asnjë ndihmë, atëherë mund të reflektojmë se indirekt matematikani shpesh bën më shumë për lumturinë njerëzore sesa ndonjë nga bashkëkohësit e tij më aktivë. Historia e shkencës vërteton me bollëk se një organ i propozimeve abstrakte - edhe nëse, si në rastin e seksioneve konike, mbetet dy mijë vjet pa efekt mbi jetën e përditshme ende, në çdo moment, mund të përdoret për të shkaktuar një revolucion në mendimet e zakonshme dhe profesionet e çdo qytetari. Përdorimi i avullit dhe energjisë elektrike - për të marrë raste marramendëse - bëhet i mundur vetëm nga matematika. Në rezultatet e mendimit abstrakt, bota posedon një kapital të cilit punësimi në pasurimin e duelit të përbashkët nuk ka kufij deri tani të zbulueshëm. As përvoja nuk jep ndonjë mjet për të vendosur se cilat pjesë të matematikës do të gjenden të dobishme. Prandaj, shërbimi mund të jetë vetëm një ngushëllim në momentet e dekurajimit, dhe jo një udhëzues për drejtimin e studimeve tona. Për shëndetin e jetës morale, për fisnikërimin e tonit të një epoke ose të një kombi, virtytet kanë një fuqi të çuditshme, duke tejkaluar fuqinë e atyre që nuk janë informuar dhe pastruar nga mendimi. Nga këto virtyte më të dashura, dashuria për të vërtetën është kryesori, dhe në matematikë, më shumë se diku tjetër, dashuria për të vërtetën mund të gjejë inkurajim për zbehjen e besimit. Çdo studim i shkëlqyeshëm nuk është vetëm një qëllim në vetvete, por edhe një mjet për të krijuar dhe mbështetur një zakon të lartë të mendjes; dhe ky qëllim duhet të mbahet gjithnjë në sy gjatë gjithë mësimit dhe mësimit të matematikës.
#Librikomenti
#Ndalohet kopjimi
#Lejohet shpërndarja
