Pjesa e tretë
MATEMATIKA, LOGJIKA DHE FILOZOFIA
Pasi u refuzuan nga Aristoteli, dhe nga çdo filozof pasues që nga ajo ditë deri në tonën, këto argumente u rikthyen, dhe bënë bazën e një rilindjeje matematikore, nga një profesor gjerman, i cili ndoshta kurrë nuk ëndërroi për ndonjë lidhje midis tij dhe Zenos. Weierstrass, duke dëbuar rreptësisht nga matematika përdorimin e infinitit, më në fund ka treguar që jetojmë në një botë të pandryshueshme, dhe se shigjeta në fluturimin e saj është vërtet në qetësi. Gabimi i vetëm i Zenos qëndroi në pohimin (nëse ai konstatoi) se, sepse nuk ka diçka të tillë si një gjendje ndryshimi, prandaj bota është në të njëjtën gjendje në çdo kohë si në çdo tjetër. Kjo është një pasojë e cila në asnjë mënyrë nuk vjen; dhe në këtë drejtim, matematikani gjerman është më konstruktiv sesa greku i zgjuar. Weierstrass ka qenë në gjendje, duke mishëruar pikëpamjet e tij në matematikë, ku familjariteti me të vërtetën eliminon paragjykimet vulgare të sensit të përbashkët, të investojë paradokset e Zeno me ajrin e respektuar të platituds; dhe nëse rezultati është më pak i lezetshëm për dashnorin e arsyes sesa mbrojtja e guximshme e Zeno, është në çdo rast më e llogaritur për të qetësuar masën e njerëzimit akademik. Zeno ishte i shqetësuar, në të vërtetë, me tre probleme, secili i paraqitur me lëvizje, por secili më abstrakt se lëvizja, dhe i aftë për një trajtim thjesht aritmetik. Këto janë problemet e pafundësisë, ndryshimit dhe vazhdimësisë. Të thuash qartë vështirësitë e përfshira ishte të realizohej ndoshta pjesa më e vështirë e detyrës së filozofit. Këtë e bëri Zeno. Nga ai deri në ditët tona, intelektet më të mira të çdo brezi nga ana tjetër sulmuan problemet, por arritën, duke folur gjerësisht,në asgjë. Në kohën tonë, megjithatë, tre burra - Weierstrass, Dedekind dhe Cantor - nuk i kanë avancuar thjesht tre problemet, por i kanë zgjidhur plotësisht ato. Zgjidhjet, për ata që njihen me matematikën, janë aq të qarta sa nuk lënë më asnjë dyshim apo vështirësi më të vogël. Kjo arritje është ndoshta më e madhja për të cilën epoka jonë duhet të mburret; dhe unë nuk di asnjë epokë (përveç mbase epokën e artë të Greqisë) e cila ka një provë më bindëse për të ofruar gjenialitetin transcendent të njerëzve të saj të mëdhenj. Nga tre problemet, ai i infiniti u zgjidh nga Weierstrass; zgjidhja e dy të tjerëve u fillua nga Dedekind, dhe përfundimisht u realizua nga Cantor. Infiniti luajti më parë një rol të madh në matematikë. U prezantua nga Grekët, të cilët e konsideruan një rreth si të ndryshëm pafundësisht nga një poligon me një numër shumë të madh të palëve të barabarta në shumë të vogla. Ajo gradualisht u rrit në rëndësi, derisa, kur Leibniz shpiku Llogaritën e Pafundme, dukej se bëhej nocioni themelor i të gjitha matematikave më të larta. Carlyle tregon, në _Frederick the Great_, se si Leibniz e mësonte Mbretëreshën Sophia Charlotte of Prussia në lidhje me pafundësinë, dhe si ajo përgjigjej se në atë temë ajo nuk kishte nevojë për udhëzime - sjellja e oborrtarëve e kishte bërë atë plotësisht të njohur me të. Por filozofët dhe matematikanët - të cilët për pjesën më të madhe kishin më pak njohje me gjykatat - vazhduan të diskutojnë këtë temë, megjithëse pa bërë ndonjë përparim. Llogaritësi kërkonte vazhdimësi, dhe vazhdimësia duhej të kërkonte pafundësinë; por askush nuk mund të zbulojë se çfarë pafundësisht mund të jetë. Ishte thjesht një zero, sepse një numër mjaft i madh i infinitit, të shtuar së bashku, u panë që përbënin një tërësi të fundme. Por askush nuk mund të tregojë ndonjë pjesë që nuk ishte zero, dhe akoma jo e fundme. Kështu pati një bllokim. Por më në fund Weierstrass zbuloi se pafundësia nuk ishte aspak e nevojshme dhe se gjithçka mund të realizohej pa të. Kështu që nuk kishte më nevojë të supozohej se ekzistonte një gjë e tillë. Në ditët e sotme, pra, matematikanët janë më dinjitozë se Leibniz: në vend që të flasin për "pafundësisht të vegjël", ata flasin për "pafundësisht të shkëlqyeshmin" - një temë e cila, sado e përshtatshme për monarkët, duket se fatkeqësisht do t’i interesojë ata edhe më pak se monarkët për të cilët Leibniz-i diskursoi. Braktisja e pafundësisë ka të gjitha llojet e pasojave të çuditshme, të cilave njeriu duhet të mësohet gradualisht. Për shembull, nuk ka diçka të tillë si momenti tjetër. Intervali midis një momenti dhe tjetrit do të duhet të jetë infiniti, pasi, nëse marrim dy momente me një interval të kufizuar midis tyre, gjithmonë ka momente të tjera në interval. Kështu që nëse nuk do të ketë pafundësi, asnjë nga dy momentet nuk janë mjaft të njëpasnjëshëm, por gjithmonë ka momente të tjera midis secilit. Prandaj duhet të ketë një numër të pafundmë momentesh midis secilës; sepse nëse do të kishte një numër të fundëm, njëshi do të ishte më e afërta e para nga dy momentet, dhe për këtë arsye pranë saj. Kjo mund të mendohet se është një vështirësi; por, në të vërtetë, këtu është filozofia e pafundësisë dhe i bën të gjitha drejt. E njëjta lloj gjëje ndodh në hapësirë. Nëse ndonjë pjesë e lëndës pritet në dy, dhe pastaj secila pjesë të përgjysmohet, dhe kështu me radhë, copat do të bëhen më të vogla dhe më të vogla, dhe teorikisht mund të bëhen aq të vogla sa ne dëshirojmë. Sado të jenë të vegjël, ato prapë bëhen dhe më të vogla. Por ata gjithmonë do të kenë madhësi _X_ të fundme, sado të vogla të jenë. Asnjëherë nuk arrijmë në pafundësi në këtë mënyrë, dhe asnjë numër i kufizuar i ndarjeve nuk do të na çojë në një pikë. Sidoqoftë, ka shumë pika, vetëm këto nuk duhet të arrihen nga ndarjet e njëpasnjëshme. Këtu përsëri, filozofia e pafundësisë na tregon se si është e mundur kjo, dhe pse pikat nuk janë me gjatësi infiniti. Sa i përket lëvizjes dhe ndryshimit, ne marrim rezultate në të njëjtën mënyrë kurioze. Njerëzit mendonin se kur një gjë ndryshon, ajo duhet të jetë në një gjendje ndryshimi dhe se kur sendi lëviz, ai është në gjendje lëvizjeje. Tani dihet se është një gabim. Kur një trup lëviz, gjithçka që mund të thuhet është se është në një vend, në një kohë dhe në një tjetër hapësirë. Ne nuk duhet të themi se do të jetë në një vend fqinj në çastin tjetër, pasi nuk ka asnjë çast tjetër. Filozofët shpesh na thonë se kur një trup është në lëvizje, ai ndryshon pozicionin e tij brenda 50 Instant. Për këtë këndvështrim Zeno kohë më parë dha një përgjigje fatale që çdo trup gjithmonë është aty ku është; por një reagim kaq i thjeshtë dhe i shkurtër nuk ishte i llojit me të cilin filozofët janë mësuar të japin peshë, dhe ata kanë vazhduar deri në ditët tona për të përsëritur të njëjtat fraza që ngjallën erën shkatërruese të Eleatic. Vetëm kohët e fundit u bë e mundur për të shpjeguar lëvizjen në detaje në përputhje me gjerësinë e Zeno, dhe në kundërshtim me paradoksin e filozofit. Ne tani mund të kënaqemi më në fund me besimin e rehatshëm se një trup në lëvizje është po aq i vërtetë sa është edhe një trup në pushim. Lëvizja konsiston thjesht në faktin se trupat ndonjëherë janë në një vend dhe nganjëherë në një tjetër, dhe se ato janë në vende të ndërmjetme në kohë të ndërmjetme. Vetëm ata që kanë përshkuar pendimet e spekulimeve filozofike mbi këtë temë mund të kuptojnë se çfarë çlirimi nga paragjykimet antike përfshihet në këtë zakon të thjeshtë dhe të drejtpërdrejtë. Filozofia e pafundësisë, siç kemi parë, është kryesisht negative. Njerëzit më parë besonin në të, dhe tani ata zbuluan gabimin e tyre. Filozofia e pafundësisë, nga ana tjetër, është tërësisht pozitive. Më parë supozohej se numrat e pafund, dhe përgjithësisht pafundësia matematikore, ishin vetë-kontradiktore. Por siç ishte e qartë se kishte pafundësi - për shembull, numri i numrave - kontradiktat e pafundësisë dukeshin të pashmangshme, dhe filozofia dukej se
kishte bredhur në një "kulm-de-sac". Kjo vështirësi çoi në antinomitë e Kantit, dhe rrjedhimisht, pak a shumë në mënyrë indirekte, në pjesën më të madhe të metodës dialektike të Hegelit. Pothuajse e gjithë filozofia e tanishme është e mërzitur nga fakti (për të cilin shumë pak filozofë janë akoma të vetëdijshëm) se të gjitha kontradiktat e lashta dhe të respektueshme në nocionin e pafundësisë janë hedhur një herë e përgjithmonë. Metoda me të cilën është bërë kjo është më interesante dhe mësimore. Në radhë të parë, megjithëse njerëzit kishin folur shkëlqyeshëm për pafundësinë që nga fillimet e mendimit Grek, askush nuk kishte menduar ndonjëherë të pyeste: Çfarë është pafundësia? Nëse ndonjë filozof do të ishte pyetur për një përkufizim të pafundësisë, ai mund të ketë prodhuar disa hije të paqarta, por ai me siguri nuk do të kishte qenë në gjendje të jepte një përcaktim që të kishte ndonjë kuptim. Njëzet vjet më parë, përafërsisht, Dedekind dhe Cantor shtruan këtë pyetje, dhe, çfarë është më e jashtëzakonshme, ata iu përgjigjën kësaj. Ata gjetën, domethënë, një përkufizim të përsosur e të saktë të një numri të pafund ose një koleksioni pafund të gjërave. Ky ishte hapi i parë dhe mbase më i madhi. Më pas mbeti për të shqyrtuar kontradiktat e supozuara në këtë nocion. Këtu Cantor vazhdoi në mënyrën e vetme të duhur. Ai mori palë propozimesh kontradiktore, në të cilat të dy palët e kundërshtimit zakonisht vlerësoheshin si të demonstrueshme, dhe ai ekzaminoi rreptësisht provat e supozuara. Ai zbuloi se të gjitha provat e pafavorshme ndaj pafundësisë përfshinin një parim të caktuar, në pamje të parë padyshim të vërteta, por shkatërrues, në pasojat e tij, të pothuajse të gjithë matematikës. Provat e favorshme për pafundësinë, nga ana tjetër, nuk përfshinin asnjë parim që të sillte pasoja të liga. Kështu që dukej se sensi i zakonshëm e kishte lejuar veten të merrej nga një maksimum i spikatur, dhe se, kur dikur ky maksimum u refuzua, të gjitha kaluan mirë. Maksimumi në fjalë është se nëse një koleksion është pjesë e një tjetri, ajo që është pjesë ka më pak nga ajo prej të cilave është pjesë. Ky maksimum është e vërtetë për numrat e fundëm. Për shembull, anglezë janë vetëm disa në mesin e evropianëve, dhe ka më pak anglezë se evropianët. Por kur arrijmë në numra të pafund, kjo nuk është më e vërtetë. Kjo ndarje e maksimumit na jep përkufizimin e saktë të pafundësisë. Një koleksion termash është i pafund kur përmban si pjesë koleksione të tjera që kanë po aq terma sa ka. Nëse mund të hiqni disa nga termat e një koleksioni, pa zvogëluar numrin e termave, atëherë ka një numër të pafundmë termash në koleksion. Për shembull, ka po aq shumë numra sa ka numra krejt, pasi çdo numër mund të dyfishohet. Kjo mund të shihet duke vendosur numra të çuditshëm dhe të barabartë në një rresht, dhe madje edhe numra vetëm në një rresht më poshtë: 1, 2, 3, 4, 5, _ad infinitum_. 2, 4, 6, 8, 10, _ad infinitum_. Padyshim ka po aq numra në rreshtin më poshtë si në rreshtin më lart, sepse ekziston një më poshtë për secilën më lart. Kjo gjë, e cila dikur mendohej se ishte një kontradiktë, tani është shndërruar në një përkufizim të padëmshëm të pafundësisë, dhe tregon, në rastin e mësipërm, se numri i numrave të fundëm është i pafund. Por, të mund të pyesin se si është e mundur të merresh me një numër që nuk mund të llogaritet. Është e pamundur të numërosh _all_ numrat, një nga një, sepse, megjithëse mund të llogarisim shumë, gjithmonë ka më shumë për t'u ndjekur. Fakti është se numërimi është një mënyrë shumë vulgare dhe elementare për të zbuluar se sa terma ka në një koleksion. Dhe në çdo rast, llogaritja na jep atë që matematikanët e quajnë numrin _ordinal_ të kushteve tona; domethënë, rregullon kushtet tona në një urdhër ose seri, dhe rezultati i saj na tregon se çfarë lloj serie rezulton nga kjo marrëveshje. Me fjalë të tjera, është e pamundur të numërohen gjërat pa llogaritur disa nga të parat dhe të tjerët më pas, kështu që numërimi gjithmonë ka të bëjë me rendin. Tani kur ekzistojnë vetëm një numër termash të kufizuar, ne mund t'i numërojmë ato në çdo mënyrë që na pëlqen; por kur ekziston një numër i pafund, ajo që korrespondon me numërimin do të na japë rezultate krejt të ndryshme sipas mënyrës në të cilën ne kryejmë operacionin. Kështu, numri rendor, i cili rrjedh nga ajo që, në një kuptim të përgjithshëm mund të quhet numërim, varet jo vetëm nga sa terma kemi, por edhe (ku numri i termave është i pafund) nga mënyra në të cilën janë rregulluar termat. Numrat themelorë të pafundmë nuk janë të rregullt, por janë ato që quhen _cardinal_. Ato nuk merren duke i vendosur rregullat tona dhe duke i numëruar ato, por me një metodë tjetër, e cila na thotë, të fillojmë, nëse dy koleksione kanë të njëjtin numër termash, ose, nëse jo, cili është më i madhi. Nuk na tregon, në mënyrën se si bëhet llogaritja, - çfarë numri i termave ka një koleksion; por nëse përcaktojmë një numër si numrin e termave në një koleksion të tillë, atëherë kjo metodë na mundëson të zbulojmë nëse disa koleksione të tjera që mund të përmenden kanë më shumë ose më pak terma. Një ilustrim do të tregojë se si bëhet kjo. Nëse do të ekzistonte ndonjë vend në të cilin, për një arsye ose një tjetër, ishte e pamundur të merrej regjistrimi, por në të cilin dihej që çdo burrë kishte një grua dhe çdo grua një burrë, atëherë (me kusht që poligamia të mos ishte një institucion kombëtar) duhet të dimë, pa llogaritur, se kishte saktësisht aq burra sa kishte gra në atë vend, as më shumë e as më pak. Kjo metodë mund të zbatohet në përgjithësi. Nëse ekziston një lidhje e cila si martesa, lidh gjërat në një koleksion ku secila me një nga gjërat në një koleksion tjetër, dhe anasjelltas, atëherë të dy koleksionet kanë të njëjtin numër termash.
Vazhdon...
#NdalohetKopjimi
#LejohetShpërndarja
#Librikomenti
